Soluzioni
  • Consideriamo la funzione fratta

    f(x)=\frac{\log(x-1)}{x}

    e cominciamo l'analisi determinandone il dominio. La funzione logaritmica pretende che il suo argomento sia maggiore di 0, mentre il denominatore non deve essere nullo e, poiché le due condizioni devono valere contemporaneamente, impostiamo il sistema

    \begin{cases}x-1>0 \\ x\ne 0\end{cases}

    La disequazione di primo grado si risolve agevolmente

    x-1>0\to x>1

    mentre la condizione x\ne0 è già risolta. Il dominio della funzione è quindi:

    Dom(f)=\left\{x\in\mathbb{R}: x>1\right\}=(1,+\infty)

    Calcoliamo i limiti agli estremi del dominio

    \lim_{x\to1^{+}}f(x) \ \ \ \mbox{e} \ \ \ \lim_{x\to+\infty}f(x)

    partendo dal limite destro per x\to 1  il cui risultato si ottiene per sostituzione diretta e utilizzando l'algebra degli infiniti

    \lim_{x\to1^{+}}f(x)=\lim_{x\to1^{+}}\frac{\log(x-1)}{x}=-\infty

    Dal risultato si evince che la retta di equazione

    x=1

    è un asintoto verticale destro per la funzione.

    Consideriamo ora il limite per x\to+\infty

    \lim_{x\to+\infty}\frac{\log(x-1)}{x}=^{H}

    che genera una forma indeterminata del tipo \left[\frac{\infty}{\infty}\right] che può essere risolta sfruttando il teorema di de l'Hopital. Deriviamo separatamente sial il numeratore che il denominatore ottenendo il limite equivalente

    ^{H}=\lim_{x\to+\infty}\frac{\frac{1}{x-1}}{1}=\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x-1}=0

    Il limite è 0 in accordo con l'algebra degli infiniti. Deduciamo, dunque, che f(x) ammette un asintoto orizzontale destro di equazione:

    y=0

    Concludiamo l'analisi asserendo che l'asintoto orizzontale destro impedisce l'esistenza dell'asintoto obliquo destro. Fatto!

    Risposta di Ifrit
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