Espressione con prodotto e divisione di monomi

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Ho bisogno di una mano per risolvere un'espressione con moltiplicazioni e divisioni tra monomi. Credo di aver compreso la teoria, però non riesco a portare a termine gli esercizi. Potete aiutarmi?

 

Risolvere la seguente espressione con i monomi

 

\left[x^2y^3\cdot (-3xy^2)\cdot 5xy-3x^3y^2\cdot(-xy^4)\right]:[-2x^3y\cdot 7xy+10(-x^2y)^2]

 

Grazie.

Domanda di FrancixD

 
Soluzioni

  • Per semplificare l'espressione

    \left[x^2y^3\cdot (-3xy^2)\cdot 5xy-3x^3y^2\cdot(-xy^4)\right]:[-2x^3y\cdot 7xy+10(-x^2y)^2]=

    bisogna sapere come si svolgono le operazioni con i monomi: se non si conosce un pizzico di teoria, non si può andare troppo lontano.

    Cominciamo con il calcolo dei prodotti tra i monomi interni alla prima coppia di parentesi quadre: basterà moltiplicare tra loro i coefficienti e le rispettive parti letterali, in particolare useremo la regola sul prodotto di potenze con la stessa base per ricavare gli esponenti da attribuire alle lettere.

    =\left[(1\cdot (-3)\cdot 5)x^{2+1+1}y^{3+2+1}-(3\cdot(-1))x^{3+1}y^{2+4}\right]:[-2x^3y\cdot 7xy+10(-x^2y)^2]=

    Portiamo a termine i calcoli e usiamo la regola dei segni per ricavare il segno da attribuire ai risultati

    \\ =\left[-15x^{4}y^{6}-(-3)x^{4}y^{6}\right]:[-2x^3y\cdot 7xy+10(-x^2y)^2]= \\ \\ =\left[-15x^{4}y^{6}+3x^{4}y^{6}\right]:[-2x^3y\cdot 7xy+10(-x^2y)^2]=

    Sommiamo tra loro i monomi simili, addizionando i loro coefficienti

    \\ =\left[(-15+3)x^{4}y^{6}\right]:[-2x^3y\cdot 7xy+10(-x^2y)^2]=\\ \\ =\left[-12x^{4}y^{6}\right]:[-2x^3y\cdot 7xy+10(-x^2y)^2]=

    e occupiamoci delle operazioni nella seconda coppia di parentesi, iniziando dalla potenza del monomio -x^2y. Per poterla esplicitare, è sufficiente distribuire l'esponente a ciascun termine del monomio di base, dopodiché interviene la regola sulle potenze di potenze che consente di semplificare la parte letterale

    \\ =\left[-12x^{4}y^{6}\right]:[-2x^3y\cdot 7xy+10(x^2)^2y^2]= \\ \\ =\left[-12x^{4}y^{6}\right]:[-2x^3y\cdot 7xy+10x^{2\cdot 2}y^2]=\\ \\ =\left[-12x^{4}y^{6}\right]:[-2x^3y\cdot 7xy+10x^{4}y^2]=

    Continuiamo la risoluzione svolgendo il prodotto tra -2x^3 y\ \mbox{e} \ 7xy

    \\ =\left[-12x^{4}y^{6}\right]:[(-2\cdot 7)x^{3+1}y^{1+1}+10x^4y^2]= \\ \\ =\left[-12x^{4}y^{6}\right]:[-14x^{4}y^{2}+10x^4y^2]=

    sommiamo i termini simili all'interno della seconda coppia di parentesi quadre

    \\ =\left[-12x^{4}y^{6}\right]:[(-14+10)x^{4}y^{2}]= \\ \\ =\left[-12x^{4}y^{6}\right]:[-4x^{4}y^{2}]=

    e infine dedichiamoci al calcolo del quoziente tra i monomi ottenuti: il coefficiente del quoziente coincide con il quoziente dei coefficienti, mentre la sua parte letterale si ottiene applicando la regola sul quoziente di potenze con la stessa base.

    \\ =\left(-12:(-4)\right)x^{4-4}y^{6-2}= \\ \\ =3x^{0}y^{4}=3y^4

    Abbiamo finito.

    Risposta di Ifrit
 
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