Soluzioni
  • Con l'espressione "studiare l'esistenza di un integrale improprio" si intende solitamente studiare il suo comportamento o detto in altri termini usare i criteri di convergenza per mostrare che l'integrale dato sia convergente o divergente (o ancora irregolare).

    Su YouMath.it sono presenti delle lezioni in merito che ti invito a leggere con molta attenzione:

    - criteri di convergenza degli integrali impropri di prima specie;

    - criteri di convergenza degli integrali impropri di seconda specie.

    Proponiamoci di studiare il comportamento dell'integrale

    ∫_(2)^(+∞)(1)/((2x-1)√(x^2-x-2))dx =

    osservando che esso presenta due punti problematici, uno è nel primo estremo di integrazione, nel quale il denominatore dell'integranda si annulla, più precisamente si annulla il radicando x^2-x-2.

    L'altro problema sorge nel secondo estremo di integrazione, perché non è finito.

    In questi casi conviene spezzare l'integrale come somma di due integrali.

    Fissato x_0∈ (2,+∞), ad esempio x_0 = 3, le proprietà degli integrali ci permettono di scrivere l'integrale dato dalla traccia come segue:

    = ∫_(2)^(3)(1)/((2x-1)√(x^2-x-2))dx+∫_(3)^(+∞)(1)/((2x-1)√(x^2-x-2))dx

    Così facendo, possiamo studiare i problemi dati dagli estremi singolarmente e se entrambi gli integrali convergono allora converge anche l'integrale di partenza.

    Chiamiamo per semplità espositive

     I = ∫_(2)^(3)(dx)/((2x-1)√(x^2-x-2))dx ; J = ∫_(3)^(+∞)(dx)/((2x-1)√(x^2-x-2))dx

    e studiamo il primo integrale mediante il criterio del confronto asintotico.

    Per determinare una funzione asintotica all'integranda per x → 2 ragioniamo per fattori:

     (2x-1) ~ _(x → 2)3 ; √(x^2-x-2) = √((x+1)(x-2)) ~ _(x → 2)√(3(x-2))

    dunque l'integranda quindi soddisfa l'equivalenza asintotica

    (1)/((2x-1)√(x^2-x-2)) ~ _(x → 2)(1)/(3√(3)√(x-2))

    L'integrale I ha quindi lo stesso comportamento di:

    ∫_(2)^(3)(1)/(3√(3)√(x-2))dx =

    che, esprimendo la radice sotto forma di potenza con esponente fratto diventa:

    = ∫_(2)^(3)(1)/(3√(3)(x-2)^((1)/(2)))dx = (1)/(3√(3))∫_(2)^(3)(1)/((x-2)^((1)/(2)))dx

    che è un integrale improprio notevole convergente. Il criterio del confronto asintotico assicura la convergenza dell'integrale I.

    Dedichiamoci allo studio dell'integrale J, determinando una stima asintotica dell'integranda per x → +∞. Ragioniamo per fattori

     (2x-1) ~ _(x → +∞)2x ; √(x^2-x-2) ~ _(x → +∞)√(x^2) = |x| = x

    Osservazione: nell'ultimo passaggio il valore assoluto sparisce perché x → +∞ di conseguenza x è una variabile che prima o poi diventerà positiva. La funzione integranda gode quindi della relazione asintotica per x → +∞

    (1)/((2x-1)√(x^2-x-2)) ~ _(x → +∞)(1)/(2x·x) = (1)/(2x^2)

    pertanto J ha lo stesso comportamento di:

    ∫_(3)^(+∞)(1)/(2x^2)dx = (1)/(2)∫_(3)^(+∞)(1)/(x^2)dx

    che è un integrale improprio notevole convergente.

    Possiamo finalmente concludere che l'integrale di partenza converge perché somma di integrali convergenti.

    Risposta di Ifrit
 
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