Con l'espressione "studiare l'esistenza di un integrale improprio" si intende solitamente studiare il suo comportamento o detto in altri termini usare i criteri di convergenza per mostrare che l'integrale dato sia convergente o divergente (o ancora irregolare).
Su YouMath.it sono presenti delle lezioni in merito che ti invito a leggere con molta attenzione:
- criteri di convergenza degli integrali impropri di prima specie;
- criteri di convergenza degli integrali impropri di seconda specie.
Proponiamoci di studiare il comportamento dell'integrale
osservando che esso presenta due punti problematici, uno è nel primo estremo di integrazione, nel quale il denominatore dell'integranda si annulla, più precisamente si annulla il radicando
.
L'altro problema sorge nel secondo estremo di integrazione, perché non è finito.
In questi casi conviene spezzare l'integrale come somma di due integrali.
Fissato
, ad esempio
, le proprietà degli integrali ci permettono di scrivere l'integrale dato dalla traccia come segue:
Così facendo, possiamo studiare i problemi dati dagli estremi singolarmente e se entrambi gli integrali convergono allora converge anche l'integrale di partenza.
Chiamiamo per semplità espositive
e studiamo il primo integrale mediante il criterio del confronto asintotico.
Per determinare una funzione asintotica all'integranda per
ragioniamo per fattori:
dunque l'integranda quindi soddisfa l'equivalenza asintotica
L'integrale
ha quindi lo stesso comportamento di:
che, esprimendo la radice sotto forma di potenza con esponente fratto diventa:
che è un integrale improprio notevole convergente. Il criterio del confronto asintotico assicura la convergenza dell'integrale
.
Dedichiamoci allo studio dell'integrale
, determinando una stima asintotica dell'integranda per
. Ragioniamo per fattori
Osservazione: nell'ultimo passaggio il valore assoluto sparisce perché
di conseguenza
è una variabile che prima o poi diventerà positiva. La funzione integranda gode quindi della relazione asintotica per
pertanto
ha lo stesso comportamento di:
che è un integrale improprio notevole convergente.
Possiamo finalmente concludere che l'integrale di partenza converge perché somma di integrali convergenti.
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