Studiare l'esistenza degli integrali impropri

Con l'espressione "studiare l'esistenza di un integrale improprio" si intende solitamente studiare il suo comportamento o detto in altri termini usare i criteri di convergenza per mostrare che l'integrale dato sia convergente o divergente (o ancora irregolare).

Su YouMath.it sono presenti delle lezioni in merito che ti invito a leggere con molta attenzione:

- criteri di convergenza degli integrali impropri di prima specie;

- criteri di convergenza degli integrali impropri di seconda specie.

Proponiamoci di studiare il comportamento dell'integrale

osservando che esso presenta due punti problematici, uno è nel primo estremo di integrazione, nel quale il denominatore dell'integranda si annulla, più precisamente si annulla il radicando .

L'altro problema sorge nel secondo estremo di integrazione, perché non è finito.

In questi casi conviene spezzare l'integrale come somma di due integrali.

Fissato , ad esempio , le proprietà degli integrali ci permettono di scrivere l'integrale dato dalla traccia come segue:

Così facendo, possiamo studiare i problemi dati dagli estremi singolarmente e se entrambi gli integrali convergono allora converge anche l'integrale di partenza.

Chiamiamo per semplità espositive

e studiamo il primo integrale mediante il criterio del confronto asintotico.

Per determinare una funzione asintotica all'integranda per ragioniamo per fattori:

dunque l'integranda quindi soddisfa l'equivalenza asintotica

L'integrale ha quindi lo stesso comportamento di:

che, esprimendo la radice sotto forma di potenza con esponente fratto diventa:

che è un integrale improprio notevole convergente. Il criterio del confronto asintotico assicura la convergenza dell'integrale .

Dedichiamoci allo studio dell'integrale , determinando una stima asintotica dell'integranda per . Ragioniamo per fattori

Osservazione: nell'ultimo passaggio il valore assoluto sparisce perché di conseguenza è una variabile che prima o poi diventerà positiva. La funzione integranda gode quindi della relazione asintotica per

pertanto ha lo stesso comportamento di:

che è un integrale improprio notevole convergente.

Possiamo finalmente concludere che l'integrale di partenza converge perché somma di integrali convergenti.