Studiare l'esistenza degli integrali impropri

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Che cosa vuol dire studiare l'esistenza degli integrali impropri? In ogni compito, il mio insegnante chiede di dimostrare l'esistenza di un integrale improprio e poi la sua risoluzione. Sulla risoluzione degli integrali non ho molti problemi a dire il vero, mentre non ho idea di come si faccia a studiare l'esistenza. Me la potete spiegare utilizzando l'integrale

 

\int_{2}^{+\infty}\frac{1}{(2x-1)\sqrt{x^2-x-2}}dx

Domanda di ale92_

 
Soluzioni

  • Con l'espressione "studiare l'esistenza di un integrale improprio" si intende solitamente studiare il suo comportamento o detto in altri termini usare i criteri di convergenza per mostrare che l'integrale dato sia convergente o divergente (o ancora irregolare).

    Su YouMath.it sono presenti delle lezioni in merito che ti invito a leggere con molta attenzione:

    - criteri di convergenza degli integrali impropri di prima specie;

    - criteri di convergenza degli integrali impropri di seconda specie.

    Proponiamoci di studiare il comportamento dell'integrale

    \int_{2}^{+\infty}\frac{1}{(2x-1)\sqrt{x^2-x-2}}dx=

    osservando che esso presenta due punti problematici, uno è nel primo estremo di integrazione, nel quale il denominatore dell'integranda si annulla, più precisamente si annulla il radicando x^2-x-2.

    L'altro problema sorge nel secondo estremo di integrazione, perché non è finito.

    In questi casi conviene spezzare l'integrale come somma di due integrali.

    Fissato x_0\in (2, +\infty), ad esempio x_0=3, le proprietà degli integrali ci permettono di scrivere l'integrale dato dalla traccia come segue:

    =\int_{2}^{3}\frac{1}{(2x-1)\sqrt{x^2-x-2}}dx+\int_{3}^{+\infty}\frac{1}{(2x-1)\sqrt{x^2-x-2}}dx

    Così facendo, possiamo studiare i problemi dati dagli estremi singolarmente e se entrambi gli integrali convergono allora converge anche l'integrale di partenza.

    Chiamiamo per semplità espositive

    \\ I=\int_{2}^{3}\frac{dx}{(2x-1)\sqrt{x^2-x-2}}dx\\ \\ \\ J=\int_{3}^{+\infty}\frac{dx}{(2x-1)\sqrt{x^2-x-2}}dx

    e studiamo il primo integrale mediante il criterio del confronto asintotico.

    Per determinare una funzione asintotica all'integranda per x\to 2 ragioniamo per fattori:

    \\ (2x-1)\sim_{x\to 2}3 \\ \\ \sqrt{x^2-x-2}=\sqrt{(x+1)(x-2)}\sim_{x\to 2}\sqrt{3(x-2)}

    dunque l'integranda quindi soddisfa l'equivalenza asintotica

    \frac{1}{(2x-1)\sqrt{x^2-x-2}}\sim_{x\to 2}\frac{1}{3\sqrt{3}\sqrt{x-2}}

    L'integrale I ha quindi lo stesso comportamento di:

    \int_{2}^{3}\frac{1}{3\sqrt{3}\sqrt{x-2}}dx=

    che, esprimendo la radice sotto forma di potenza con esponente fratto diventa:

    =\int_{2}^{3}\frac{1}{3\sqrt{3}(x-2)^{\frac{1}{2}}}dx=\frac{1}{3\sqrt{3}}\int_{2}^{3}\frac{1}{(x-2)^{\frac{1}{2}}}dx

    che è un integrale improprio notevole convergente. Il criterio del confronto asintotico assicura la convergenza dell'integrale I.

    Dedichiamoci allo studio dell'integrale J, determinando una stima asintotica dell'integranda per x\to +\infty. Ragioniamo per fattori

    \\ (2x-1)\sim_{x\to +\infty}2x \\ \\ \sqrt{x^2-x-2}\sim_{x\to +\infty}\sqrt{x^2}=|x|=x

    Osservazione: nell'ultimo passaggio il valore assoluto sparisce perché x\to +\infty di conseguenza x è una variabile che prima o poi diventerà positiva. La funzione integranda gode quindi della relazione asintotica per x\to +\infty

    \frac{1}{(2x-1)\sqrt{x^2-x-2}}\sim_{x\to +\infty}\frac{1}{2x\cdot x}=\frac{1}{2x^2}

    pertanto J ha lo stesso comportamento di:

    \int_{3}^{+\infty}\frac{1}{2x^2}dx= \frac{1}{2}\int_{3}^{+\infty}\frac{1}{x^2}dx

    che è un integrale improprio notevole convergente.

    Possiamo finalmente concludere che l'integrale di partenza converge perché somma di integrali convergenti.

    Risposta di Ifrit
 
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