Soluzioni
  • Quello proposto è a tutti gli effetti un integrale di una funzione razionale fratta in cui il grado del numeratore N(x)=2x^4+4 è maggiore di quello del polinomio al denominatore D(x)=x^3+1.

    In questi casi è opportuno effettuare una divisione polinomiale tra il numeratore e il denominatore, così da determinare il polinomio quoziente Q(x) e il polinomio resto R(x), che valgono rispettivamente

    Q(x)=2x \ \ \ \mbox{ e } \ \ \ R(x)=4-2x

    Grazie alla definizione stessa di divisione polinomiale possiamo riscrivere l'integrale dato come segue

    \\ \int\frac{2x^4+4}{x^3+1}dx= \\ \\ \\ = \int\left(2x+\frac{4-2x}{1+x^3}\right)dx=

    e invocando le proprietà degli integrali possiamo esprimere l'integrale della somma come somma di integrali dei singoli addendi, e in può possiamo trasportare fuori dal simbolo di integrazione le costanti moltiplicative:

    =2\int xdx+\int\frac{4-2x}{1+x^3}dx=(\bullet)

    Il primo è un integrale immediato

    \int xdx=\frac{x^2}{2}+c_1\mbox{ con }c_1\in\mathbb{R}

    è infatti l'integrale di x.

    Il secondo integrale ossia

    \int\frac{4-2x}{1+x^3}dx=(\bullet \bullet)

    è ancora un integrale di una funzione razionale, ma questa volta il grado del polinomio al denominatore è maggiore di quello del numeratore: dobbiamo innescare il metodo dei fratti semplici che consiste nel determinare due costanti reali A\mbox{ e }B che permettano di esprimere l'integranda come somma di frazioni più semplici.

    Il primo passo consiste nello scomporre il polinomio al denominatore x^3+1 vedendolo come somma di cubi:

    x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)

    dove x^2-x+1 è un falso quadrato e in quanto tale ha discriminante negativo.

    - Al fattore x+1 associamo il fratto semplice \frac{A}{x+1};

    - al fattore x^2-x+1 associamo il fratto semplice \frac{Bx+C}{x^2-x+1}

    Determiniamo le costanti A\mbox{ e }B che rendono vera la seguente uguaglianza

    \frac{4-2x}{1+x^3}=\frac{A}{x+1}+\frac{Bx+C}{x^2-x+1}

    Portiamo allo stesso denominatore i due membri così da ottenere

    \frac{4-2x}{1+x^3}=\frac{Ax^2-Ax+A+B x^2+B x +C x+C}{(x+1)(x^2-x+1)}

    A questo punto possiamo semplifichiamo i denominatori perché uguali membro a membro ed inoltre possiamo sommare tra loro i termini simili al secondo membro

    4-2x=(A+B)x^2+(-A+B+C)x+A+C

    Il principio di identità dei polinomi permette di costruire il seguente sistema lineare

    \begin{cases}A+B=0\\ -A+B+C=-2\\ A+C=4\end{cases}

    che risolto conduce alla soluzione A=2, \ B=-2, \ C=2. L'integrale in (\bullet \bullet) diventa

    \\ (\bullet \bullet )=\int\frac{2}{x+1}dx+\int\frac{-2x+2}{x^2-x+1}dx= \\ \\ \\ = 2\int\frac{1}{x+1}dx-\int\frac{2x+2}{x^2-x+1}dx

    Il primo integrale è immediato, il secondo invece richiede qualche passaggio in più: costruiamoci la derivata del denominatore al numeratore aggiungendo e sottraendo 1:

    \\ \int\frac{2x+2}{x^2-x+1}dx= \\ \\ \\ =\int\frac{2x-1+3}{x^2-x+1}dx= \\ \\ \\ = \int\frac{2x-1}{x^2-x+1}dx+\int\frac{3}{x^2-x+1}dx =

    Il primo integrale è immediato ed è riconducibile ad un logaritmo, il secondo invece è un integrale con delta negativo ed è riconducibile ad un'arcotangente: è sufficiente completare il quadrato di binomio aggiungendo e sottraendo \frac{1}{4}

    \\ =\ln(|x^2-x+1|)+3\int\frac{1}{(x^2-x+\frac{1}{4})+1-\frac{1}{4}}dx= \\ \\ \\ = \ln(|x^2-x+1|)+c_1+3\int\frac{1}{\frac{1}{4}(2x-1)^2+\frac{3}{4}}dx= \\ \\ \\ =\ln(|x^2-x+1|)+c_1+4\int\frac{1}{\left(\frac{2x-1}{\sqrt{3}}\right)^2+1}dx=

    Pian piano ci stiamo riconducendo all'integrale notevole

    \int\frac{f'(x)}{[f(x)]^2+1}dx=\arctan(f(x))+c_2

    abbiamo bisogno solo della derivata di \frac{2x+1}{\sqrt{3}} al numeratore dell'integranda. Poco male, basta moltiplicare e dividere per \frac{2}{\sqrt{3}}

    \\ =\ln(|x^2-x+1|)+c_1+\frac{4}{\frac{2}{\sqrt{3}}}\int\frac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{\left(\frac{2x-1}{\sqrt{3}}\right)^2+1}dx= \\ \\ \\ = \ln(x^2-x+1)+c_1+2\sqrt{3}\arctan\left(\frac{2x-1}{\sqrt{3}}\right)+c_2

    Nota: abbiamo potuto eliminare il valore assoluto presente nel logaritmo perché x^2-x+1 è positivo per ogni x\in\mathbb{R}.

    Abbiamo a disposizione tutti i pezzi che ci servono per scrivere l'integrale di partenza e concludere che

    \\ \int\frac{2x^4+4}{x^3+1}dx=\\ \\ \\ =x^2+\frac{\arctan\left(\frac{2x-1}{\sqrt{3}}\right)}{\sqrt{3}}+\ln(|x+1|)-\frac{1}{2}\ln(x^2-x+1)+C

    dove C\in\mathbb{R} è una costante che raggruppa le costanti additive degli integrali.

    Risposta di Ifrit
 
MEDIEGeometriaAlgebra e Aritmetica
SUPERIORIAlgebraGeometriaAnalisiAltro
UNIVERSITÀAnalisiAlgebra LineareAlgebraAltro
EXTRAPilloleWiki
 
Esercizi simili e domande correlate
Domande della categoria Università - Analisi Matematica