Soluzioni
  • La funzione è

    f(x)=\frac{1}{x^2-4}

    e ha dominio

    Dom(f)=(-\infty,-2)\cup(-2,+2)\cup(+2,+\infty)

    Per determinare gli eventuali punti di flesso dobbiamo studiare il segno della derivata seconda. Neanche a farlo apposta abbiamo già la derivata prima:

    f'(x)=-\frac{2x}{(x^2-4)^2}

    Deriviamola applicando prima la regola di derivazione del rapporto di funzioni e successivamente il teorema di derivazione della funzione composta:

    f''(x)=-\frac{2(x^2-4)^2-2x\cdot 2(x^2-4)\cdot 2x}{(x^2-4)^4}

    ossia

    f''(x)=-\frac{2(x^2-4)^2-8x^2(x^2-4)}{(x^2-4)^4}

    Semplifichiamo

    f''(x)=-\frac{2(x^2-4)-8x}{(x^2-4)^3}

    e riscriviamo la derivata seconda come

    f''(x)=-\frac{6x^2+8}{(x^2-4)^3}

    Ora studiamo il segno della derivata seconda e risolviamo

    \\ f''(x)\geq 0\\ \\ \\ -\frac{6x^2+8}{(x^2-4)^3}\geq 0

    Si tratta di una disequazione fratta. A questo punto si studiano separatamente il segno di numeratore e denominatore. Osserviamo che il numeratore è somma di quantità positive, pertanto il segno della funzione derivata seconda dipende esclusivamente dal segno del denominatore.

    (x^2-4)^3>0\iff x^2-4>0\iff x^2>4\iff x<-2\vee x>2

    La disequazione ha soluzioni:

    x<-2\vee x>2

    Per cui se ne deduce che la derivata seconda è:

    - positiva per x<-2\vee x>2;

    - negativa per -2<x<2.

    La funzione di partenza, f(x), è:

    - convessa negli intervalli (-\infty, -2)\mbox{ e }(2, +\infty);

    - concava nell'intervallo (-2,2).

    Osserviamo che non ci sono punti di flesso per la funzione, infatti la derivata seconda non si annulla mai nel dominio di f(x).

    Namasté!

    Risposta di Omega
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