Calcolare il volume del solido compreso tra due superfici, integrale
ho questo esercizio:
calcolare il volume del solido compreso tra le due superfici
z=x^2+y^2
z= 2x
il primo passaggio è il sistema fra le due:
z=2x
z= x^2+y^2 ----> x^2+y^2=2x ---> x^2+y^2-2x=0 equazione di una circonferenza di centro (1,0) e raggio 1 (anche se qui ho ancora da ripetere per bene i domini)
il passaggio successivo è
l'integrale doppio dell'equazione, (e ora arriva il mio problema): essendo una circonferenza lo trasforma in coordinate polari
x= 1+ φcosθ
y= φsenθ
1 domanda) perchè nella x c'è anche il +1?
poi va a sostituire nell'equazione e non mi tornano alcune cose:
ve la scrivo:
(2+2φcosθ)-(1+φsenθ)^2 - (2φcosθ)- φ^2sen^2θ
il pezzo che ho scritto in rosso, non riesco a capirlo!
mi sfugge sicuramente qualcosa per il fatto che la x è elevata al quadrato...ma non so cosa!
Ciao FrancescaV,
allora quello che ti ha confuso è un passaggio mancante: facendo il sistema otteniamo
sommiamo e sottraiamo 1:
Riorganizziamo i termini in modo da rendere evidente dove vogliamo arrivare:
cioè
A questo punto trasformando in coordinate polari avrai che
cioè
Sostituendo nell'integrale trovi i termini mancanti!
Alpha.
Risposta di Alpha
Ma perché sommare e sottrarre 1? E poi se risolvo questo
ho come risultato
che è diversa da
Risposta di francescaV
Ciao FrancescaV, era un semplice errore di battitura. Dopo aver aggiunto e tolto 1
passi al quadrato che include il termine -2x, e che da lì in poi non compare più
è rimasto semplicemente nel copia-incolla della formula. Dal quadrato in poi non c'è il -2x.
Risposta di Omega
capito! solo che ora sono di nuovo bloccata 
la soluzione dove poi ci dovrò fare l'integrale doppio è quindi
(1- φ^2)
nel passaggio successivo l'integrale lo scrive così
int da 0->2∏ int da 0->1 ((1- φ^2) φ dφ)dθ
domanda 1: perchè ha moltiplicato per φ?
domanda 2: 0, 2∏E 0-1 saltano fuori dopo le coordinate polari...ed è il dominio d'integrazione, ma come si trovano? qual'è l operazione che fa?
grazie in anticipo e spero d'aver scritto in modo chiaro
francesca
Risposta di francescaV
Ciao Francesca,
risposta1: quel termine salta fuori dal teorema del cambiamento di variabili, ed è in particolare lo Jacobiano del cambiamento di variabili. Cioè: oltre a sostituire le variabili x,y, devi sostituire anche
.
risposta2: quei nuovi estremi di integrazione saltano fuori perchè in coordinate polari descrivono proprio la circonferenza. In un sistema di coordinate polari 
il raggio è descritto da 
mentre 
descrive l'angolo.
L'angolo deve variare tra zero e 
(angolo giro), il raggio tra zero ed 1 perchè la nostra circonferenza ha raggio 1.
Inoltre, si decide di risolvere gli integrali in cui si ha una simmetria di tipo sferico con le coordinate polari proprio perchè semplificano i calcoli!
Namasté - Agente 
Risposta di Omega
Grazie, chiarissimo!
Un'ultima domanda, nei passaggi per arrivare alle coordinate polari, si è fatto il passaggio:
sommiamo e sottraiamo 1:
per arrivare
per avere solo un argomento della x e uno della y?
Ma che ragionamento devo fare per capire quale numero sommare e quale sottrarre? Ad esempio se avessi
Che numero devo sommare e sottrarre? Questa è sicuramente una domanda da matematica elementare, ma purtroppo ho delle lacune in matematica uno che non ho tempo di rivedere perché ho l'esame mercoledì..
Risposta di francescaV
Lo capisci guardando qual'è il termine di grado 1, nell'ultimo caso c'è 6x mentre non c'è nessun termine di grado 1 in y. Il quadrato lo devi completare per le/le variabili in cui compare il grado 1.
Non preoccuparti, siamo qui apposta!
Risposta di Omega
grazie!!! 
Risposta di francescaV