Soluzioni
  • Per calcolare le soluzioni dell'equazione letterale di secondo grado

    k^2-x^2-6k+9=0

    al variare di k\in\mathbb{R}, occorre rifarsi alla teoria delle equazioni pure. Osserviamo, infatti, che

    k^2-x^2-6k+9=0

    può essere riespressa nella forma equivalente

    -x^2+k^2-6k+9=0

    da cui, cambiando i segni dei membri, ricaviamo:

    x^2-k^2+6k-9=0

    Indicati con a, \ b\ \mbox{e} \ c rispettivamente il coefficiente di x^2, quello di x e il termine noto, scopriamo che:

    a=1 \ \ \ , \ \ \ b=0 \ \ \ , \ \ \ c=-k^2+6k-9

    Proprio perché b=0, l'equazione è pura, per cui isoliamo x^2 al primo membro, trasportando gli altri al secondo (cambiando i loro segni) per ricavarne le soluzioni:

    x^2=k^2-6k+9

    Al secondo membro compare lo sviluppo del quadrato di binomio (k-3)^2, per cui l'equazione diventa

    x^2=(k-3)^2

    Si noti che i due membri hanno lo stesso segno, indipendentemente dal valore assunto da k e sotto il vincolo di concordanza, l'equazione ammette sempre e comunque soluzioni reali

    x_{1,2}=\pm (k-3)

    In particolare, esse sono distinte per k\ne 3, mentre coincidono tra loro e sono uguali a zero per k=3.

    Ecco fatto!

    Risposta di Ifrit
 
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