Soluzioni
  • La funzione di cui vogliamo determinare l'espressione della derivata è

    f(x)=x\sqrt{\frac{x}{3-x}}

    Possiamo subito notare siamo in presenza del prodotto di due funzioni:

    h(x)=x \ \ \ \mbox{e} \ \ \ k(x)=\sqrt{\frac{x}{3-x}}

    Per poter derivare f(x) dovremo quindi avvalerci della formula della derivata del prodotto, vale a dire:

    (h(x)k(x))'=h'(x)k(x)+h(x)k'(x)

    Per poterla applicare abbiamo bisogno delle derivate dei singoli fattori. La derivata di x è 1 quindi:

    h'(x)=1

    Per quanto concerne la derivata del fattore irrazionale k(x) dobbiamo necessariamente sfruttare la regola per la derivata della funzione composta, mediante la quale otteniamo:

    k'(x)=\frac{1}{2\sqrt{\frac{x}{3-x}}}\cdot\frac{d}{dx}\left[\frac{x}{3-x}\right]=

    che grazie alla formula per la derivata del quoziente diventa

    \\ =\frac{1}{2\sqrt{\frac{x}{3-x}}}\cdot\frac{3-x+x}{(3-x)^2}= \\ \\ \\ =\frac{3}{2(3-x)^2\sqrt{\frac{x}{3-x}}}

    Ora che disponiamo delle derivate di h(x)\ \mbox{e} \ k(x) siamo in grado di scrivere l'espressione della derivata di f(x)

    \\ f'(x)=h'(x)k(x)+h(x)k'(x)= \\ \\ \\ =\sqrt{\frac{x}{3-x}}+\frac{3x}{2(3-x)^2\sqrt{\frac{x}{3-x}}}

    Ecco fatto.

    Risposta di Ifrit
 
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