Espressione con i monomi e con potenze ennesime

Question

Avrei bisogno del vostro aiuto per semplificare un'espressione con polinomi a esponenti letterali. L'espressione è parecchio contorta e purtroppo non sono in grado di portarla a termine. Potreste aiutarmi? Ridurre in forma normale la seguente espressione polinomiale, al variare di n∈N: 36-[(a^n-1)(a^n+3)-(2a^n-1)(2a^n-3)-10a^n]^2:(-9a^(2n)) Grazie.

Redazione di YouMath · Accepted Answer

Prima di dedicarci all'esercizio, è opportuno effettuare una premessa. Nel momento in cui bisogna operare con monomi o polinomi a esponenti letterali, è bene tenere a mente le proprietà delle potenze, perché è proprio grazie a esse che saremo in grado di ricavare gli esponenti da attribuire alle varie lettere. In particolare, ci torneranno utili:-la regola del prodotto di due potenze con la stessa base A^(n)·A^(m) = A^(n+m)-la regola del quoziente di due potenze con la stessa base: A^(n):A^(m) = A^(n-m) con A ne 0-la regola della potenza di una potenza (A^(n))^(m) = A^(n·m) Chiusa la parentesi teorica, occupiamoci dell'espressione 36-[(a^n-1)(a^n+3)-(2a^n-1)(2a^n-3)-10a^n]^2:(-9a^(2n)) = Il primo passaggio prevede di effettuare le moltiplicazioni tra i polinomi racchiusi tra parentesi quadre = 36-[a^(2n)+3a^n-a^n-3-(4a^(2n)-6a^n-2a^n+3)-10a^n]^2:(-9a^(2n)) = Sbarazziamoci delle parentesi tonde, cambiando i segni dei termini che racchiudono, in accordo con la regola dei segni, = 36-[a^(2n)+3a^n-a^n-3-4a^(2n)+6a^n+2a^n-3-10a^n]^2:(-9a^(2n)) = dopodiché sommiamo i monomi simili, ossia quei termini che hanno parte letterale identica. ; = 36-[(1-4)a^(2n)+(3-1+6+2-10)a^n-3-3]^2:(-9a^(2n)) = 36-[-3a^(2n)-6]^2:(-9a^(2n)) = Sviluppiamo il quadrato di binomio = 36-[(-3a^(2n))^(2)+2(-3a^(2n))·(-6)+(-6)^2]:(-9a^(2n)) = e usiamo la regola sulla potenza di una potenza per svolgere le potenze dei monomi ottenuti. = 36-[9a^(4n)+36a^(2n)+36]:(-9a^(2n)) = Cancelliamo le parentesi quadre, prestando la massima attenzione ai segni = 36-9a^(4n)-36a^(2n)-36:(-9a^(2n)) = ed elidiamo i numeri opposti = -9a^(4n)-36a^(2n):(-9a^(2n)) = Abbiamo quasi finito: ci basta dividere il polinomio per il monomio e riportare il risultato! ; = (-9a^(4n)):(-9a^(2n))+(-36a^(2n)):(-9a^(2n)) = (-9):(-9)a^(4n-2n)+(-36):(-9)a^(2n-2n) = a^(2n)+4 Ecco fatto!