Espressione con i monomi e con potenze ennesime

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Avrei bisogno del vostro aiuto per semplificare un'espressione con polinomi a esponenti letterali. L'espressione è parecchio contorta e purtroppo non sono in grado di portarla a termine. Potreste aiutarmi?

 

Ridurre in forma normale la seguente espressione polinomiale, al variare di n∈N:

 

36-[(a^n-1)(a^n+3)-(2a^n-1)(2a^n-3)-10a^n]^2:(-9a^(2n))

 

Grazie.

Domanda di FrancixD

 
Soluzioni

  • Prima di dedicarci all'esercizio, è opportuno effettuare una premessa. Nel momento in cui bisogna operare con monomi o polinomi a esponenti letterali, è bene tenere a mente le proprietà delle potenze, perché è proprio grazie a esse che saremo in grado di ricavare gli esponenti da attribuire alle varie lettere. In particolare, ci torneranno utili:

    - la regola del prodotto di due potenze con la stessa base

    A^(n)·A^(m) = A^(n+m)

    - la regola del quoziente di due potenze con la stessa base:

    A^(n):A^(m) = A^(n-m) con A ne 0

    - la regola della potenza di una potenza

    (A^(n))^(m) = A^(n·m)

    Chiusa la parentesi teorica, occupiamoci dell'espressione

    36-[(a^n-1)(a^n+3)-(2a^n-1)(2a^n-3)-10a^n]^2:(-9a^(2n)) =

    Il primo passaggio prevede di effettuare le moltiplicazioni tra i polinomi racchiusi tra parentesi quadre

    = 36-[a^(2n)+3a^n-a^n-3-(4a^(2n)-6a^n-2a^n+3)-10a^n]^2:(-9a^(2n)) =

    Sbarazziamoci delle parentesi tonde, cambiando i segni dei termini che racchiudono, in accordo con la regola dei segni,

    = 36-[a^(2n)+3a^n-a^n-3-4a^(2n)+6a^n+2a^n-3-10a^n]^2:(-9a^(2n)) =

    dopodiché sommiamo i monomi simili, ossia quei termini che hanno parte letterale identica.

    = 36-[(1-4)a^(2n)+(3-1+6+2-10)a^n-3-3]^2:(-9a^(2n)) = 36-[-3a^(2n)-6]^2:(-9a^(2n)) =

    Sviluppiamo il quadrato di binomio

    = 36-[(-3a^(2n))^(2)+2(-3a^(2n))·(-6)+(-6)^2]:(-9a^(2n)) =

    e usiamo la regola sulla potenza di una potenza per svolgere le potenze dei monomi ottenuti.

    = 36-[9a^(4n)+36a^(2n)+36]:(-9a^(2n)) =

    Cancelliamo le parentesi quadre, prestando la massima attenzione ai segni

    = 36-9a^(4n)-36a^(2n)-36:(-9a^(2n)) =

    ed elidiamo i numeri opposti

    = -9a^(4n)-36a^(2n):(-9a^(2n)) =

    Abbiamo quasi finito: ci basta dividere il polinomio per il monomio e riportare il risultato!

    = (-9a^(4n)):(-9a^(2n))+(-36a^(2n)):(-9a^(2n)) = (-9):(-9)a^(4n-2n)+(-36):(-9)a^(2n-2n) = a^(2n)+4

    Ecco fatto!

    Risposta di Ifrit
 
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