Soluzioni
  • Ok iniziamo:

    (a^n-1)(a^n+3)(2a^n+3-a^{2n}):(a^{2n}-1)

    Sviluppiamo prima il prodotto (tornano particolarmente utili le proprietà delle potenze)

    (a^{2n}+3a^n-a^n-3)(2a^n+3-a^{2n}): (a^{2n}-1)

    Sommiamo i monomi simili:

    (a^{2n}+2a^n-3)(2a^n+3-a^{2n}): (a^{2n}-1)

    Svolgiamo il secondo prodotto osservando che:

    a^{2n}+2a^n-3= 2a^n+(a^{2n}-3)

    Mentre

    2a^n+3-a^{2n}= 2a^n-(a^{2n}-3)

    dunque la nostra espressione si riscrive come:

    (2a^n+(a^{2n}-3))(2a^n-(a^{2n}-3)): (a^{2n}-1)

    Nota ora che il prodotto rientra tra i prodotti notevoli, è del tipo quadrato di un binomio (trattiamo i secondi addendi come un unico termine)

    (A+B )(A-B )= A^2-B^2

    Quindi:

    [(2a^n)^2-(a^{2n}-3)^2]: (a^{2n}-1)

    Da cui

    [4a^{2n}-(a^{4n}-6 a^{2n}+9)]: (a^{2n}-1)

    Cambiando i segni:

    [4a^{2n}-a^{4n}+6a^{2n}-9]:(a^{2n}-1)

    Sommiamo i termini simili:

    (-a^{4n}+10 a^{2n}-9):(a^{2n}-1)

    Adesso una serie di trucchi algebrici:

    -a^{4n}+10a^{2n}-9= -a^{4n}+a^{2n}+9a^{2n}-9= -a^{2n}(a^{2n}-1)+9(a^{2n}-1)

    Mettiamo in evidenza a^{2n}-1

     (9-a^{2n})(a^{2n}-1)

    Quindi abbiamo scoperto che:

    -a^{4n}+10a^{2n}-9=(9-a^{2n})(a^{2n}-1)

    L'espressione si riscrive come:

    (-a^{4n}+10 a^{2n}-9):(a^{2n}-1)

    (9-a^{2n})(a^{2n}-1):(a^{2n}-1)= 9-a^{2n}

    Risposta di Ifrit
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