Esercizio radici cubiche di un numero complesso

Question

Mi è capitato un esercizio sul calcolo delle radici cubiche di un numero complesso, espresso nella forma algebrica e non sono in grado di risolverlo perché non so come calcolare correttamente il modulo e l'argomento. Potreste aiutarmi? Calcolare le radici cubiche complesse di z = 1+i esprimendo i risultati in forma trigonometrica. Il problema suggerisce di applicare la formula sulle radici n-esime. Grazie.

Redazione di YouMath · Accepted Answer

Il problema ci chiede di determinare le radici cubiche del numero complesso z = 1+i Osserviamo che z è espresso in forma cartesiana, pertanto è facile comprendere quale siano la sua parte reale e la sua parte immaginaria: Re(z) = 1 ; Im(z) = 1 Tali valori sono utili per il calcolo di modulo e argomento di z. In accordo con la definizione, il modulo di z si calcola estraendo la radice quadrata della somma tra il quadrato della parte reale e il quadrato della parte immaginaria, in simboli matematici: |z| = √(Re(z)^2+Im(z)^2) = √(1+1) = √(2) Per quanto concerne l'argomento, osserviamo che la parte reale e la parte immaginaria sono entrambe positive, di conseguenza l'argomento si ottiene mediante la relazione Arg(z) = arctan((Im(z))/(Re(z))) = arctan(1) = (π)/(4) Ora possiamo utilizzare la formula per le radici di un numero complesso: ; w_k = [3]√(|z|)[cos((Arg(z)+2kπ)/(3))+isin((Arg(z)+2kπ)/(3))] ; con k = 0,1,2. Rimpiazzando i termini, otteniamo ; w_k = [3]√(√(2))[cos(((π)/(4)+2kπ)/(3))+isin(((π)/(4)+2kπ)/(3))] ; con k = 0,1,2. Per quanto concerne il radicale, possiamo semplificarlo trasformandolo come una potenza con esponente fratto [n]√(a) = a^((1)/(n)) con a ≥ 0 se n pari di conseguenza, sfruttando le proprietà delle potenze possiamo esprimere il termine [3]√(√(2)) nel modo seguente: [3]√(√(2)) = (2^((1)/(2)))^((1)/(3)) = 2^((1)/(2)·(1)/(3)) = 2^((1)/(6)) = [6]√(2) In definitiva, possiamo asserire che le radici terze del numero complesso z = 1+i, espresse in forma trigonometrica sono: ; w_k = [6]√(2)[cos(((π)/(4)+2kπ)/(3))+isin(((π)/(4)+2kπ)/(3))] ; con k = 0,1,2. ; Per k = 0 w_0 = [6]√(2)[cos((π)/(12))+isin((π)/(12))] ; Per k = 1 w_1 = [6]√(2)[cos((3π)/(4))+isin((3π)/(4))] ; Per k = 2 w_2 = [6]√(2)[cos((17π)/(12))+isin((17π)/(12))] Abbiamo finito!