Soluzioni
  • Il problema ci chiede di determinare le radici cubiche del numero complesso

    z=1+i

    Osserviamo che z è espresso in forma cartesiana, pertanto è facile comprendere quale siano la sua parte reale e la sua parte immaginaria:

    Re(z)=1\ \ \ ; \ \ \ Im(z)=1

    Tali valori sono utili per il calcolo di modulo e argomento di z. In accordo con la definizione, il modulo di z si calcola estraendo la radice quadrata della somma tra il quadrato della parte reale e il quadrato della parte immaginaria, in simboli matematici:

    |z|=\sqrt{Re(z)^2+Im(z)^2}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}

    Per quanto concerne l'argomento, osserviamo che la parte reale e la parte immaginaria sono entrambe positive, di conseguenza l'argomento si ottiene mediante la relazione

    Arg(z)=\arctan\left(\frac{Im(z)}{Re(z)}\right)=\arctan\left(1\right)=\frac{\pi}{4}

    Ora possiamo utilizzare la formula per le radici di un numero complesso:

    \\ w_k=\sqrt[3]{|z|}\left[\cos\left(\frac{Arg(z)+2k\pi}{3}\right)+i\sin\left(\frac{Arg(z)+2k\pi}{3}\right)\right] \\ \\ \mbox{con} \ k=0,1,2.

    Rimpiazzando i termini, otteniamo

    \\ w_k=\sqrt[3]{\sqrt{2}}\left[\cos\left(\frac{\frac{\pi}{4}+2k\pi}{3}\right)+i\sin\left(\frac{\frac{\pi}{4}+2k\pi}{3}\right)\right] \\ \\ \mbox{con} \ k=0,1,2.

    Per quanto concerne il radicale, possiamo semplificarlo trasformandolo come una potenza con esponente fratto

    \sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}} \ \ \mbox{con} \ a\ge 0 \ \mbox{se} \ n \ \mbox{pari}

    di conseguenza, sfruttando le proprietà delle potenze possiamo esprimere il termine \sqrt[3]{\sqrt{2}} nel modo seguente:

    \sqrt[3]{\sqrt{2}}=\left(2^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{3}}=2^{\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}}=2^{\frac{1}{6}}=\sqrt[6]{2}

    In definitiva, possiamo asserire che le radici terze del numero complesso z=1+i, espresse in forma trigonometrica sono:

    \\ w_k=\sqrt[6]{2}\left[\cos\left(\frac{\frac{\pi}{4}+2k\pi}{3}\right)+i\sin\left(\frac{\frac{\pi}{4}+2k\pi}{3}\right)\right] \\ \\ \mbox{con} \ k=0,1,2.

    \\ \mbox{Per} \ k=0 \ \ \ w_0=\sqrt[6]{2}\left[\cos\left(\frac{\pi}{12}\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{12}\right)\right]\\ \\ \\ \mbox{Per} \ k=1 \ \ \ w_1=\sqrt[6]{2}\left[\cos\left(\frac{3\pi}{4}\right)+i\sin\left(\frac{3\pi}{4}\right)\right] \\ \\ \\  \mbox{Per} \ k=2 \ \ \ w_2=\sqrt[6]{2}\left[\cos\left(\frac{17\pi}{12}\right)+i\sin\left(\frac{17\pi}{12}\right)\right]

    Abbiamo finito!

    Risposta di Ifrit
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