Esercizio di calcolo delle derivate composte

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Salve, mi aiutate a calcolare la derivata della seguente funzione? L'esercizio è tratto da quelli sulla derivazione delle funzioni composte:

 

f(x)=ln(sen(2x)^2).

 

Grazie

Domanda di Farella

 
Soluzioni

  • Ciao Farella arrivo :D

    Risposta di Ifrit

  • Abbiamo la funzione:

    f(x) = ln(sin^2(2x))

    E' una funzione composta, quindi dobbiamo utilizzare la relativa regola di derivazione della funzione composta.

    In particolare tieni a mente che:

     1. , ,D[ln(g(x))] = (D[g(x)])/(g(x))

     2. , ,D[g^2(x)] = 2 g(x)·D[g(x)]

    3. , , D[sin(g(x))] = cos(g(x))·D[g(x)]

     e dai un'occhiata a questo: calcolo delle derivate.

    Detto questo iniziamo:

    D[ln(sin^2(2x))] = _(1.) (D[sin^2(2x)])/(sin^2(2x))

    Abbiamo derivato la funzione più esterna, utilizzando la regola 1. Dobbiamo derivare sin^2(2x) nel qual caso utilizzeremo la regola 2. :

    = (D[sin^2(2x)])/(sin^2(2x)) = (2 sin(2x)·D[sin(2x)])/(sin^2(2x)) =

    Deriviamo ora sin(2x) utilizzando la regola 3.

    (2 sin(2x)·D[sin(2x)])/(sin^2(2x)) = _(3.) (2sin(2x)·cos(2x)·D[2x])/(sin^2(2x))

    Ricordando che D[2x] = 2, la precedente espressione diventa:

    = (2sin(2x)·cos(2x)·2)/(sin^2(2x)) = (4sin(2x)cos(2x))/(sin^2(2x))

    Semplificando sin(2x) otteniamo:

    = 4·(cos(2x))/(sin(2x)) = 4cot(2x)

    dove

    cot(t): = (cos(t))/(sin(t))

    è la funzione cotangente :D

    Risposta di Ifrit
  • Scusami dopo aver provato e riprovato a farla ho visto che c é un errore nel testo, é 2x^2
    Risposta di Farella

  • Ciao Farella, è molto importante prestare attenzione a come si scrive il testo dell'esercizio, perché un esponente scritto in un modo piuttosto che in un altro può cambiare radicalmente i calcoli (ma non lo svolgimento).

    D'altra parte è proprio un errore nel testo che fa sì che un membro dello Staff dedichi un quarto d'ora/venti minuti del suo tempo per scrivere nella forma più chiara possibile lo svolgimento dell'esercizio, come qui Ifrit ha fatto con la cura e l'attenzione di un ottimo emanuense.

    5 secondi di disattenzione costano venti minuti ad un membro dello Staff: non è ragionevole.

    Le regole da applicare sono le medesime: derivazione della funzione composta, derivazione della funzione composta, derivazione della funzione composta. Cambia solo un ordine di derivazione.

    ---

    Namasté!

    Risposta di Omega
 
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