Quoziente e resto con prodotti notevoli nella divisione tra polinomi

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Salve a tutti dovrei dividere due polinomi tra loro applicando il metodo di divisione o i prodotti notevoli. Credo di dover applicare i prodotti notevoli, ma non ne sono sicura, potreste daarmi una mano?

 

(x3m-y3n) : (xm-yn)

 

Il libro mi dà i risultati: quoziente x2m+xmyn+y2n e resto 0.

Domanda di FrancixD

 
Soluzioni

  • Ciao FrancixD arrivo :D

    Risposta di Ifrit

  • Ciao FrancixD, eccomi!

    Risposta di hagrid_ilbotto

  • Osserva che

    (x^{3m}-y^{3n})= [(x^m)^3-(y^{n})^3]

    è una differenza di cubi di cui conosciamo la fattorizzazione, infatti:

    A^3-B^3= (A-B )(A^2+AB+B^2 )

    Useremo pquindi le formule date dai prodotti notevoli; non è dunque necessario ricorrere al metodo di Ruffini, né al metodo standard per la divisione tra polinomi.

    I ruoli di A e di B in questo caso sono:

    A= x^m, B= y^n

    Quindi:

    (x^{3m}-y^{3n})= (x^m- y^n)[(x^{m})^2+ x^m y^n+ (y^{n})^2]

    Per la proprietà delle potenze:

    (a^b)^c= a^{b c}

    otteniamo:

    (x^{3m}-y^{3n})= (x^m- y^n)[x^{2m}+ x^m y^n+ y^{2n}]

    Di conseguenza:

    (x^{3m }-y^{3n}): (x^m- y^n)=

    (x^m- y^n)[x^{2m}+ x^m y^n+ y^{2n}]: (x^m- y^n)= x^{2m }+x^m y^n+y^{2n }

    Il resto è necessariamente zero perché 

    (x^m-y^n)\mbox{ divide esattamente } x^{3m }-y^{3n}

    Risposta di Ifrit

  • Si divide

    x^{3m}  per x^{m} ottenendo x^{2m} che è il primo termine del quoziente.

    Adesso moltiplichi questo primo termine per il divisore ottenendo

    x^{3m}-x^{2m}y^n.

    Ora questo va sottratto al dividendo, ottenendo 

    x^{2m}y^n - y^{3n}

    e adesso si ricomincia come prima: si prende il primo termine 

    x^{2m}y^n e lo dividi per x^m ottenendo così x^my^n che dovrà nuovamente essere sottratto al dividendo ottenendo così

    x^my^{2n} - y^{3n}

    dopo l'ultimo passaggio uguale agli altri otterrai y^{3n} - y^{3n} ossia 0 e quindi il procedimento è concluso.

    Ciao! ^^

    Risposta di hagrid_ilbotto
 
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