Problema: punto sulla retta che soddisfa un'equazione

Buongiorno, devo fare la discussione di un problema su un punto incognito che soddisfa una certa equazione, conoscendo altri due punti.

 

A=-2,\ B=-6: determina C in modo che sia soddisfatta l'equazione: BC^2+CA^2-16CA=16

 

Le soluzioni del libro sono: x=-14,\ x=\pm 2.

Grazie!

In Superiori - Geometria - Domanda di 20elena02

 
Soluzioni

  • Dunque, per prima cosa calcoliamo la lunghezza di AB. Ricordiamoci la formula per la distanza tra due punti in uno spazio monodimensionale, in cui ogni punto è descritto da un'unica coordinata

    PQ=|x_P-x_Q|

    Il valore assoluto è importante perché la distanza deve essere non negativa.

    Chiamiamo x la posizione del punto C.

    CA=|A-C|=|-2-x|

    BC=|B-x|=|-6-x|

    (usiamo i moduli perchè non sappiamo se il punto C è a sinistra di B, a destra di A oppure tra B e A)

    Sostituiamo tutto nell'equazione

    BC^2+CA^2-16CA=16

    ossia

    |-6-x|^2+|-2-x|^2+16|-2-x|=16

    Dato che i primi due moduli sono elevati al quadrato, possiamo ometterli (è una proprietà del valore assoluto)

    (-6-x)^2+(-2-x)^2+16|-2-x|=16

    Facciamo i conti usando la regola per il quadrato di un binomio

    36+12x+x^2+4+4x+x^2+16|-2-x|-16=0

    cioè

    16|-2-x|=-\left[2x^2+16x+24\right]

    Grazie ad un'ulteriore proprietà del valore assoluto, possiamo riscriverla come

    16|x+2|=-\left[2x^2+16x+24\right]

    Ora dobbiamo risolvere l'equazione con il valore assoluto, che si trasforma in due sistemi di cui dovremo unire le soluzioni

     

    Il primo

    \begin{cases}x+2\geq 0\\ 16(x+2)=-\left[2x^2+16x+24\right]\end{cases}

    che diventa

    \begin{cases}x\geq -2\\ 2x^2+32x+56=0\end{cases}

    lascio a te i semplici calcoli relativi all'equazione di secondo grado, che dà come soluzioni

    x=-14\mbox{ e }x=-2.

    L'unica soluzione accettabile del sistema è quindi x=-2.

     

    Il secondo

    \begin{cases}x+2< 0\\ 16(-x-2)=-\left[2x^2+16x+24\right]\end{cases}

    che diventa

    \begin{cases}x<-2\\ 2x^2-8=0\end{cases}

    che ha soluzioni x=\pm 2, entrambe non accettabili.

     

    L'unica soluzione dell'equazione, e dunque del problema, è x=-2.

    Namasté - Agente \Omega

    Risposta di Omega
 
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