Problema: punto sulla retta che soddisfa un'equazione

Buongiorno, devo fare la discussione di un problema su un punto incognito che soddisfa una certa equazione, conoscendo altri due punti.

$A=-2,\ B=-6$ : determina C in modo che sia soddisfatta l'equazione:

Le soluzioni del libro sono: $x=-14,\ x=\pm 2$ .

Grazie!

Domanda di 20elena02

Soluzioni

Dunque, per prima cosa calcoliamo la lunghezza di AB. Ricordiamoci la formula per la distanza tra due punti in uno spazio monodimensionale, in cui ogni punto è descritto da un'unica coordinata
Il valore assoluto è importante perché la distanza deve essere non negativa.
Chiamiamo x la posizione del punto C.
(usiamo i moduli perchè non sappiamo se il punto C è a sinistra di B, a destra di A oppure tra B e A)
Sostituiamo tutto nell'equazione
ossia
Dato che i primi due moduli sono elevati al quadrato, possiamo ometterli (è una proprietà del valore assoluto)
Facciamo i conti usando la regola per il quadrato di un binomio
cioè
$16|-2-x|=-\left[2x^2+16x+24\right]$
Grazie ad un'ulteriore proprietà del valore assoluto, possiamo riscriverla come
$16|x+2|=-\left[2x^2+16x+24\right]$
Ora dobbiamo risolvere l'equazione con il valore assoluto, che si trasforma in due sistemi di cui dovremo unire le soluzioni

Il primo
$\begin{cases}x+2\geq 0\\ 16(x+2)=-\left[2x^2+16x+24\right]\end{cases}$
che diventa
$\begin{cases}x\geq -2\\ 2x^2+32x+56=0\end{cases}$
lascio a te i semplici calcoli relativi all'equazione di secondo grado, che dà come soluzioni
$x=-14\mbox{ e }x=-2$ .
L'unica soluzione accettabile del sistema è quindi .

Il secondo
$\begin{cases}x+2< 0\\ 16(-x-2)=-\left[2x^2+16x+24\right]\end{cases}$
che diventa
$\begin{cases}x<-2\\ 2x^2-8=0\end{cases}$
che ha soluzioni $x=\pm 2$ , entrambe non accettabili.

L'unica soluzione dell'equazione, e dunque del problema, è .
Namasté - Agente $\Omega$
Risposta di Omega