Calcolo integrale di una funzione razionale

Dobbiamo risolvere l'integrale indefinto

che è a tutti gli effetti un integrale di una funzione razionale fratta dove il grado del polinomio al numeratore è maggiore di quello del polinomio al denominatore.

In questi casi possiamo fare affidamento sulla divisione polinomiale tra

tramite la quale possiamo determinare il polinomio quoziente e il polinomio resto che valgono rispettivamente

Dalla definizione stessa di divisione, segue che:

Dividiamo membro a membro per così da poter esprimere la funzione integranda come segue

e dunque l'integrale di partenza si riscrive come segue

Grazie alle proprietà degli integrali, possiamo spezzare l'integrale di una somma come somma di integrali e inoltre possiamo trasportare fuori dal simbolo di integrazione le costanti moltiplicative.

Risolviamo i quattro integrali a parte. L'integrale di x è facile:

L'integrale di 1 è immediato

Calcoliamo il terzo integrale

osservando che il numeratore è quasi la derivata del denominatore a meno di un coefficiente moltiplicativo: basta moltiplicare e dividere per due così l'integrale si presenta nella forma

.

Quest'ultimo è un integrale immediato in forma generale che ha per risultato un logaritmo.

Osserviamo che il valore assoluto all'interno del logaritmo è superfluo perché è somma di due quadrati, o più precisamente è somma tra un quadrato e una costante positiva, e in quanto tale positivo.

Risolviamo l'ultimo integrale ossia

osservando che è un integrale notevole che risulta essere un'arcotangente (a meno di costanti additive)

In definitiva possiamo ricomporre il risultato dell'integrale di partenza

avendo posto . L'esercizio è terminato.