Soluzioni
  • Dobbiamo risolvere l'integrale indefinto

    \int\frac{x^3+5x^2+4x+4}{x^2+1}dx=(\bullet)

    che è a tutti gli effetti un integrale di una funzione razionale fratta dove il grado del polinomio al numeratore è maggiore di quello del polinomio al denominatore.

    In questi casi possiamo fare affidamento sulla divisione polinomiale tra

    N(x)=x^3+5x^2+4x+4\ \mbox{ e }\ D(x)=x^2+1

    tramite la quale possiamo determinare il polinomio quoziente e il polinomio resto che valgono rispettivamente

    Q(x)=x+5 \ \ \ \mbox{ e } \ \ \ R(x)=3x-1

    Dalla definizione stessa di divisione, segue che:

    N(x)=Q(x)\cdot D(x)+R(x)\iff x^3+5x^2+4x+4= (x+5)(x^2+1)+3x-1

    Dividiamo membro a membro per D(x)=x^2+1 così da poter esprimere la funzione integranda come segue

    \frac{x^3+5x^2+4x+4}{x^2+1}=x+5+\frac{3x-1}{x^2+1}

    e dunque l'integrale di partenza si riscrive come segue

    (\bullet)=\int\left(x+5+\frac{3x-1}{x^2+1}\right)dx=

    Grazie alle proprietà degli integrali, possiamo spezzare l'integrale di una somma come somma di integrali e inoltre possiamo trasportare fuori dal simbolo di integrazione le costanti moltiplicative.

    \\ =\int xdx+5\int dx+\int\frac{3x-1}{x^2+1}dx= \\ \\ \\ =\int xdx+5\int 1 \ dx+\int\frac{3x}{x^2+1}dx-\int\frac{1}{x^2+1}dx=(\bullet \bullet)

    Risolviamo i quattro integrali a parte. L'integrale di x è facile:

    \int xdx=\frac{x^2}{2}+c_1\mbox{ con }c_1\in\mathbb{R}

    L'integrale di 1 è immediato

    \int 1 \ dx= x+c_2\mbox{ con }c_2\in\mathbb{R}

    Calcoliamo il terzo integrale

    \int\frac{3x}{x^2+1}dx=3\int\frac{x}{x^2+1}dx=

    osservando che il numeratore x è quasi la derivata del denominatore x^2+1 a meno di un coefficiente moltiplicativo: basta moltiplicare e dividere per due così l'integrale si presenta nella forma

    \int\frac{h'(x)}{h(x)}dx.

    Quest'ultimo è un integrale immediato in forma generale che ha per risultato un logaritmo.

    \\ =\frac{3}{2}\int\frac{2x}{x^2+1}dx= \\ \\ \\ = \frac{3}{2}\ln(|x^2+1|)+c_3 = \\ \\ \\ = \frac{3}{2}\ln(x^2+1)+c_3\mbox{ con }c_3\in\mathbb{R}

    Osserviamo che il valore assoluto all'interno del logaritmo è superfluo perché x^2+1 è somma di due quadrati, o più precisamente è somma tra un quadrato e una costante positiva, e in quanto tale positivo.

    Risolviamo l'ultimo integrale ossia

    \int\frac{1}{x^2+1}dx=

    osservando che è un integrale notevole che risulta essere un'arcotangente (a meno di costanti additive)

    =\arctan(x)+c_4

    In definitiva possiamo ricomporre il risultato dell'integrale di partenza

    (\bullet \bullet)=\frac{x^2}{2}+5x+\frac{3}{2}\ln(x^2+1)-\arctan(x)+C

    avendo posto C=c_1+c_2+c_3+c_4. L'esercizio è terminato.

    Risposta di Ifrit
MEDIE Geometria Algebra e Aritmetica
SUPERIORI Algebra Geometria Analisi Varie
UNIVERSITÀ Analisi Algebra Lineare Algebra Altro
EXTRA Vita quotidiana
Esercizi simili e domande correlate
Domande della categoria Uni-Analisi