Soluzioni
  • Ciao :)

    Consideriamo il numero complesso z=-4-4i, di cui vogliamo calcolare le quattro radici quarte \sqrt[4]{z}.

    Prima di tutto: forma trigonometrica del numero complesso.

    Ci servono modulo e argomento del numero, che in forma algebrica è

    z=a+ib=-4-4i

    e che noi vogliamo nella forma

    z=\rho(\cos{(\theta)}+i\sin{(\theta)})

    Per quanto riguarda il modulo

    |z|=\rho=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{16+16}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}

    Per l'argomento, dobbiamo calcolare

    Arg(z)=\arctan{\left(\frac{b}{a}\right)}-\pi=\arctan{\left(1\right)}-\pi=\frac{\pi}{4}-\pi=-\frac{3\pi}{4}

    Abbiamo la forma trigonometrica:

    z=4\sqrt{2}\left(\cos{\left(\frac{-3\pi}{4}\right)}+i\sin{\left(\frac{-3\pi}{4}\right)}\right) 

    Ora bisogna solamente applicare la formula per le radici di un numero complesso:

    \sqrt[4]{z}=\sqrt[4]{4\sqrt{2}}\left(\cos{\left(\frac{\frac{-3\pi}{4}+2k\pi}{4}\right)}+i\sin{\left(\frac{\frac{-3\pi}{4}+2k\pi}{4}\right)}\right)

    prendendo k=0,1,2,3, e si tratta di effettuare valutazioni di funzioni trigonometriche e conti meccanicissimi, che lascio ben volentieri a te. ;)

    Unica nota da aggiungere: la riscrittura del radicale, la quale può essere effettuata mediante la definizione di potenza con esponente fratto

    \sqrt[4]{4\sqrt{2}}=(4\cdot 2^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{4}}=

    il resto è mera applicazione delle proprietà delle potenze

    =(2^2\cdot 2^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{4}}=(2^{\frac{5}{2}})^{\frac{1}{4}}=2^{\frac{5}{8}}

    Fammi sapere se ci sono problemi...

    Namasté!

    Risposta di Omega
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