Esercizio radici quarte di un numero complesso

  1. Home
  2. Domande e Risposte
  3. Superiori - Analisi

Ragazzi come si calcolano le radici quarte di questo numero complesso? La traccia chiede di calcolare le radici n-sime (con n=4) del seguente numero complesso z esprimendolo prima in forma trigonometrica.

 

z = -4-4i

 

Help me, grazie mille! 

Domanda di Lorenzo94

 
Soluzioni

  • Ciao :)

    Consideriamo il numero complesso z = -4-4i, di cui vogliamo calcolare le quattro radici quarte [4]√(z).

    Prima di tutto: forma trigonometrica del numero complesso.

    Ci servono modulo e argomento del numero, che in forma algebrica è

    z = a+ib = -4-4i

    e che noi vogliamo nella forma

    z = ρ(cos(θ)+isin(θ))

    Per quanto riguarda il modulo

    |z| = ρ = √(a^2+b^2) = √(16+16) = √(32) = 4√(2)

    Per l'argomento, dobbiamo calcolare

    Arg(z) = arctan(((b)/(a)))-π = arctan(1)-π = (π)/(4)-π = -(3π)/(4)

    Abbiamo la forma trigonometrica:

    z = 4√(2)(cos(((-3π)/(4)))+isin(((-3π)/(4)))) 

    Ora bisogna solamente applicare la formula per le radici di un numero complesso:

    [4]√(z) = [4]√(4√(2))(cos((((-3π)/(4)+2kπ)/(4)))+isin((((-3π)/(4)+2kπ)/(4))))

    prendendo k = 0,1,2,3, e si tratta di effettuare valutazioni di funzioni trigonometriche e conti meccanicissimi, che lascio ben volentieri a te. ;)

    Unica nota da aggiungere: la riscrittura del radicale, la quale può essere effettuata mediante la definizione di potenza con esponente fratto

    [4]√(4√(2)) = (4·2^((1)/(2)))^((1)/(4)) =

    il resto è mera applicazione delle proprietà delle potenze

    = (2^2·2^((1)/(2)))^((1)/(4)) = (2^((5)/(2)))^((1)/(4)) = 2^((5)/(8))

    Fammi sapere se ci sono problemi...

    Namasté!

    Risposta di Omega
 
MEDIEGeometriaAlgebra e Aritmetica
SUPERIORIAlgebraGeometriaAnalisiAltro
UNIVERSITÀAnalisiAlgebra LineareAlgebraAltro
EXTRAPilloleWiki
Le più lette
 
Esercizi simili e domande correlate
Domande della categoria Scuole Superiori - Analisi