Integrale trigonometrico fratto

Question

Vorrei sottoporre alla vostra attenzione un integrale di una funzione trigonometrica fratta ∫(1+cos^2(x))/(sin^2(x))dx Pensavo di utilizzare le proprietà degli integrali, in particolare l'additività, ma non riesco a ricondurmi a integrali notevoli.

Redazione di YouMath · Accepted Answer

∫(1+cos^2(x))/(sin^2(x))dx = (•) è l'integrale di una funzione trigonometrica che può essere risolto mediante la prima relazione fondamentale della trigonometria (in caso di dubbi vedi formule trigonometriche) cos^2(x) = 1-sin^2(x) L'integrale quindi si riscrive come ; (•) = ∫(1+1-sin^2(x))/(sin^2(x))dx = ∫(2-sin^2(x))/(sin^2(x))dx = Spezziamo la frazione e facciamo ricorso alla linearità dell'integrale ; = ∫((2)/(sin^2(x))-(sin^2(x))/(sin^2(x)))dx = ∫(2)/(sin^2(x))dx-∫ 1dx = 2∫(1)/(sin^2(x))dx-∫ 1 dx = (• •) Perfetto, ci siamo ricondotti a due integrali notevoli, in particolare ∫(1)/(sin^2(x))dx = -cot(x)+c_1 dove cot(x) è la funzione cotangente, così come è notevole l'integrale di 1: ∫ 1 dx = x+c_2 In definitiva possiamo concludere che (• •) = -2cot(x)-x+k dove k è una costante additiva che ingloba le costanti derivanti dai singoli integrali.