Soluzioni
  • Prima di procedere con il calcolo è opportuno classificare l'integrale

    \int [1-\sin(x)]\frac{\cos^2(x)+1}{\cos^2(x)}dx=

    che è effettivamente un integrale di una funzione trigonometrica.

    Possiamo affrontarlo utilizzando la linearità dell'integrale, che ci permette di esprimerlo come

    =\int\frac{\cos^2(x)+1}{\cos^2(x)}dx+\int\frac{\cos^2(x)+1}{\cos^2(x)}(-\sin(x))dx=(\bullet)

    Per il primo integrale, possiamo spezzare la frazione

    \\ \int\frac{\cos^2(x)+1}{\cos^2(x)}dx= \\ \\ \\ =\int\left(\frac{\cos^2(x)}{\cos^2(x)}+\frac{1}{\cos^2(x)}\right)dx= \\ \\ \\ =\int\left(1+\frac{1}{\cos^2(x)}\right)dx=

    da cui, ancora una volta per la linearità

    =\int dx+\int\frac{1}{\cos^2(x)}dx=

    Ci siamo ricondotti alla somma di due integrali notevoli, in particolare l'integrale di dx vale x+c_1 mentre l'integrale di \frac{1}{\cos^2(x)} ha per risultato la funzione tangente a meno di costanti additive.

    =x+c_1+\tan(x)+c_2= x+\tan(x)+k_1

    dove k_1=c_1+c_2 è una costante reale additiva.

    Procediamo con la risoluzione dell'integrale rimasto ossia

    \int\frac{\cos^2(x)+1}{\cos^2(x)}(-\sin(x))dx=

    che possiamo affrontare con il metodo di integrazione per sostituzione, ponendo t=\cos(x), da cui calcoliamo direttamente il differenziale della trasformazione dt=-\sin(x)dx ( se dovesse servire ecco qual è la derivata del coseno).

    Sostituiamo così che l'integrale diventi

    =\int\frac{t^2+1}{t^2}dt=

    Spezziamo la frazione distribuendo il denominatore a ciascun addendo del numeratore, dopodiché semplifichiamo in modo opportuno:

    \\ =\int\left(\frac{t^2}{t^2}+\frac{1}{t^2}\right)dt= \\ \\ \\ = \int\left(1+\frac{1}{t^2}\right)dt= \\ \\ \\ = \int dt+ \int\frac{1}{t^2}dt=

    Trasformiamo \frac{1}{t^2} sotto forma di una potenza con esponente negativo

    =\int dt+\int t^{-2}dt=

    in questo modo possiamo utilizzare la regola per gli integrali delle potenze:

    =t-\frac{1}{t}+k_2=

    Finalmente è giunto il momento di ripristinare la variabile x, tenendo a mente che t=\cos(x):

    =\cos(x)-\frac{1}{\cos(x)}+k_2

    Possiamo concludere l'esercizio ricomponendo il risultato dell'integrale dato dalla traccia

    \int [1-\sin(x)]\frac{\cos^2(x)+1}{\cos^2(x)}dx=x+\tan(x)+\cos(x)-\frac{1}{\cos(x)}+K

    dove K è la costante additiva che ingloba le costanti derivanti dai singoli integrali calcolati.

    Prima di salutarci ecco la scheda di esercizi sugli integrali di funzioni trigonometriche che puoi utilizzare per prepararti in vista dell'esame e uno strumento che può tornarti utile per controllare la correttezza degli esercizi che hai svolto: integrali online.

    Risposta di Ifrit
 
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