Esercizio sulla derivata di una funzione composta trigonometrica

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Buonasera, mi aiutate con la derivata di una funzione composta trigonometrica?

 

La funzione che devo derivare è una somma, ed è:

 

y = tg(3x) + 2cot(6x)

 

Solo la derivata mi servirebbe...grazie mille!

Domanda di toccithebest

 
Soluzioni

  • Ciao toccithebest arrivo :D

    Risposta di Ifrit

  • Abbiamo la funzione:

    f(x)= \tan(3x)+2\cot(6x)

    Ricordiamoci le derivate della tangente e della cotangente

    D[\tan(f(x))]=\frac{f'(x)}{\cos^2(f(x))} 

    e che

    D[\cot(f(x))]= -\frac{f'(x)}{\sin^2(f(x))}

    di conseguenza:

    f'(x)= \frac{3}{\cos^2(3x)}-2\cdot\frac{6}{\sin^2(6x)}

    f'(x)= \frac{3}{\cos^2(3x)}-\frac{12}{\sin^2(6x)}

     

    Osserva che:

    \sin^2(6x)= (2\sin(3x)\cos(3x))^2= 4\sin^2(3x)\cos^2(3x)

    La precedente espressione diventa:

    f'(x)= \frac{3}{\cos^2(3x)}-\frac{12}{4\sin^2(3x)\cos^2(3x)}=

    =\frac{3}{\cos^2(3x)}\left(1-\frac{1}{\sin^2(3x)} \right)

    minimo comune multiplo:

    = \frac{3}{\cos^2(3x)}\left(\frac{\sin^2(3x)-1}{\sin^2(3x)}\right)

    Per la relazione fondamentale della trigonometria:

    cos^2(t)= 1-\sin^2(t)

    Quindi l'espressione precedente si riscrive come:

    = \frac{3}{\cos^2(3x)}\left(\frac{-\cos^2(3x)}{\sin^2(3x)}\right)

     

    semplificando:

     

    = -\frac{3}{\sin^2(3x)}

    Risposta di Ifrit
 
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