Come trovo il dominio di funzione con radici pari e cubica?

Question

Dovrei determinare il dominio di funzione fratta con radici quadrate e cubiche. Pensavo di porre i radicandi maggiori di zero ma il risultato del libro non mi dà ragione. Quali sono le condizioni di esistenza da imporre? Determinare il dominio della funzione f(x) = (√(4x−6))/([3]√(x^3−8x^2))

Redazione di YouMath · Accepted Answer

Per determinare il dominio della funzione

è necessario imporre le seguenti condizioni. Al numeratore è presente una radice con indice pari, pertanto dobbiamo richiedere che il suo radicando sia maggiore o al più uguale a zero, in altri termini prendiamo in considerazione la disequazione di primo grado

che ha come soluzione .

Al denominatore è presente una radice con indice dispari, la quale non richiede alcuna condizione di esistenza, ma attenzione. Proprio perché è al denominatore, essa dev'essere diversa da zero, deve pertanto essere verificata l'equazione irrazionale

Eleviamo al cubo i due membri così da ricavare l'equazione di grado superiore al secondo

Scomponiamo il polinomio al primo membro, raccogliendo totalmente

e avvaliamoci della legge di annullamento del prodotto con cui ricaviamo le soluzioni

Affinché abbia senso, tutte le condizioni devono valere contemporaneamente pertanto formano il sistema di disequazioni:

x ne 0 ∧ x ne 8 ; x ≥ (3)/(2)

soddisfatto nell'insieme

che rappresenta il dominio della funzione. Scriviamo quindi