Punti critici

In cosa consistono i punti critici di una funzione di una variabile o in più variabili? E c'è qualche differenza tra il concetto di punto critico e di punto stazionario?

In Uni - Analisi - Domanda di Alessia.30

Soluzioni

Per rispondere in modo completo a questa domanda dobbiamo fare una distinzione.

Per funzioni di una variabile si chiama punto critico un punto del dominio per cui la derivata prima o è nulla, in questo caso parleremo più propriamente di punto stazionario, o non esiste.

Formalmente

Sia $f:\mbox{dom}(f)\to \mathbb{R}$ una funzione continua nel suo dominio, un punto $x_0\in\mbox{dom}(f)$ si dice punto critico per la funzione se vale una delle seguenti condizioni:

1. la funzione è derivabile in e si ha che . In questo caso prende il nome di punto stazionario;

2. la funzione non è derivabile in , ossia è un punto di non derivabilità.

Dalla definizione si intuisce che i punti stazionari sono particolari punti critici. Un esempio classico di funzione che ha punti critici che non sono punti stazionari è la funzione valore assoluto:

Esempio 1:

Essa è infatti una funzione continua nel suo dominio, $\mathbb{R}$ , ed è anche derivabile per ogni $x\in\mathbb{R}\setminus\{0\}$ .

In non è derivabile, infatti il limite destro e il limite sinistro del rapporto incrementale centrato in 0 sono sì finiti ma non coincidono:

$\bullet\,\,f'_{-}(0)=\lim_{h\to 0^{-}}\frac{|h|}{h}=\lim_{h\to 0^{-}}-1=-1$

$\bullet\,\, f'_{+}(0)=\lim_{h\to 0^{+}}\frac{|h|}{h}=\lim_{h\to 0^{+}}1=1$

Poiché $f'_{-}(0)\ne f'_{+}(0)$ possiamo concludere che è un punto di non derivabilità per la funzione.

Sempre tramite lo studio del segno della derivata prima possiamo inoltre asserire che esso è un punto di minimo assoluto.

Esempio 2. andremo a vedere ora un esempio di funzione che ha tre punti critici, due dei quali stazionari.

La funzione è:

Essa è ovviamente una funzione continua perché somma di funzioni continue. Grazie alla definizione di valore assoluto si esprime come:

$f(x)=\begin{cases}-x^2+x&\mbox{ se }x\ge 0\\ -x^2-x&\mbox{ se }x<0\end{cases}$

Per determinare i punti stazionari, calcoleremo la derivata prima e imposteremo l'equazione

La derivata prima della funzione è:

$f'(x)=\begin{cases}-2x+1&\mbox{ se }x>0\\ -2x-1&\mbox{ se }x<0\end{cases}$

Vediamo per quali valori essa si annulla:

$f'(x)=0\iff \begin{cases}-2x+1=0\\ x>0\end{cases}\bigcup\begin{cases}-2x-1=0\\ x<0\end{cases}$

Risolvendo i due sistemi misti si giunge alle soluzioni $x_1= -\frac{1}{2}, x_2= \frac{1}{2}$ .

Essi sono punti stazionari perché annullano la derivata prima. Studiando il segno della derivata prima inoltre si scopre che entrambi sono punti di massimo assoluto.

Oltre a questi due punti critici ve ne è un terzo, , che non annulla la derivata prima anzi di più, esso è un punto di non derivabilità, infatti il limite destro e il limite sinistro del rapporto incrementale centrato in 0 sono finiti e diversi.

$f'_{-}(0)=\lim_{h\to 0^{-}}\frac{-h^2-h}{h}=-1$

$f'_{+}(0)=\lim_{h\to 0^{+}}\frac{-h^2+h}{h}=1$

Come dicevamo, 0 è un punto di non derivabilità in particolare è un punto angoloso ma allo stesso tempo è punto di minimo relativo.

Per funzioni di più variabili la questione diventa spinosa perché interviene il concetto di differenziabilità.

Un punto critico per una funzione di più variabili continua è un punto del dominio in cui o la funzione è differenziabile e le derivate parziali del primo ordine sono nulle, in tal caso parleremo di punto stazionario o la funzione non è differenziabile.

La funzione di due variabili

$f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}$

ad esempio, è continua in $\mathbb{R}^2$ , ma non è differenziabile in , anche perché non esistono le derivate parziali del primo ordine, pertanto esso è un punto critico non stazionario per la funzione. Per classificarlo sarà sufficiente utilizzare i metodi visti per le funzioni con hessiano nullo. Studiamo il segno della funzione variazione:

$\Delta f(x,y)=f(x,y)-f(0,0)=\sqrt{x^2+ y^2}\ge 0$

Poiché è non negativa per ogni $(x,y)\in\mathbb{R}^2$ allora è un punto di minimo assoluto.

Tra tutti i punti di non differenziabilità, quelli più interessanti sono sempre e comunque i punti di massimo e i punti di minimo relativi/assoluti, gli altri non sono classificiati.

Risposta di Ifrit