Soluzioni
  • Per rispondere in modo completo a questa domanda dobbiamo fare una distinzione. Per funzioni di una variabile si chiama punto critico un punto del dominio per cui:

    - la derivata prima o è nulla, e in questo caso parleremo più propriamente di punto stazionario;

    oppure

    - la derivata prima non esiste.

    Formalmente: sia f:\mbox{dom}(f)\subseteq\mathbb{R}\to \mathbb{R} una funzione continua nel suo dominio. Un punto x_0\in\mbox{dom}(f) si dice punto critico per la funzione se vale una delle seguenti condizioni:

    1) la funzione è derivabile in x_0 e si ha che f'(x_0)=0. In questo caso x_0 prende il nome di punto stazionario;

    2) la funzione non è derivabile in x_0, ossia x_0 è un punto di non derivabilità.

    Dalla definizione si intuisce che i punti stazionari sono particolari punti critici.

    Esempio 1

    Un esempio classico di funzione che ha punti critici che non sono punti stazionari è la funzione valore assoluto:

    f(x)=|x|

    Essa è infatti una funzione continua nel suo dominio, \mathbb{R}, ed è anche derivabile per ogni x\in\mathbb{R}\setminus\{0\}.

    In x=0 non è derivabile, infatti il limite destro e il limite sinistro del rapporto incrementale centrato in 0 sono sì finiti, ma non coincidono:

    \bullet\,\,f'_{-}(0)=\lim_{h\to 0^{-}}\frac{|h|}{h}=\lim_{h\to 0^{-}}-1=-1

    \bullet\,\, f'_{+}(0)=\lim_{h\to 0^{+}}\frac{|h|}{h}=\lim_{h\to 0^{+}}1=1

    Poiché f'_{-}(0)\ne f'_{+}(0) possiamo concludere che x=0 è un punto di non derivabilità per la funzione. 

    Sempre tramite lo studio del segno della derivata prima possiamo inoltre asserire che esso è un punto di minimo assoluto.

     

    Grafico della funzione valore assoluto

    x=0 punto critico (ma non stazionario) della funzione valore assoluto.

     

    Esempio 2

    Vediamo un esempio di funzione che ha tre punti critici, due dei quali stazionari:

    f(x)=-x^2+|x|

    Essa è ovviamente una funzione continua, perché somma di funzioni continue. Grazie alla definizione di valore assoluto, si può esprimere nella forma:

    f(x)=\begin{cases}-x^2+x&\mbox{ se }x\ge 0\\ -x^2-x&\mbox{ se }x<0\end{cases}

    Per determinare i punti stazionari, calcoleremo la derivata prima e imposteremo l'equazione

    f'(x)=0

    La derivata prima della funzione è:

    f'(x)=\begin{cases}-2x+1&\mbox{ se }x>0\\ -2x-1&\mbox{ se }x<0\end{cases}

    Vediamo per quali valori essa si annulla:

    f'(x)=0\iff \begin{cases}-2x+1=0\\ x>0\end{cases}\bigcup\ \ \begin{cases}-2x-1=0\\ x<0\end{cases}

    Risolvendo i due sistemi misti si giunge alle soluzioni x_1= -\frac{1}{2},\ x_2= \frac{1}{2}.

    Essi sono punti stazionari perché annullano la derivata prima. Studiando il segno della derivata prima inoltre si scopre che entrambi sono punti di massimo assoluto. 

    Oltre a questi due punti critici ve ne è un terzo, x_3=0, che non annulla la derivata prima. Di più: esso è un punto di non derivabilità, infatti il limite destro e il limite sinistro del rapporto incrementale centrato in 0 sono finiti e diversi

    f'_{-}(0)=\lim_{h\to 0^{-}}\frac{-h^2-h}{h}=-1

    f'_{+}(0)=\lim_{h\to 0^{+}}\frac{-h^2+h}{h}=1

    Come dicevamo, x_3=0 è un punto di non derivabilità e in particolare è un punto angoloso, ma allo stesso tempo è punto di minimo relativo. 

     

    Grafico di una funzione con tre punti critici

    Esempio di funzione con 3 punti critici, di cui 2 stazionari.

     

    Punti critici per funzioni di più variabili

    Per funzioni di più variabili la questione diventa spinosa perché interviene il concetto di differenziabilità. 

    Un punto critico per una funzione di più variabili continua è un punto del dominio in cui:

    - la funzione è differenziabile e le derivate parziali del primo ordine sono nulle, e in tal caso parleremo di punto stazionario;

    oppure

    - la funzione non è differenziabile. 

    Ad esempio la funzione di due variabili

    f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}

    è continua in \mathbb{R}^2, ma non è differenziabile in (0,0), anche perché non esistono le derivate parziali del primo ordine, pertanto (0,0) è un punto critico non stazionario per la funzione.

    Per classificarlo sarà sufficiente utilizzare i metodi visti per le funzioni con hessiano nullo.

    Studiamo il segno della funzione variazione: 

    \Delta f(x,y)=f(x,y)-f(0,0)=\sqrt{x^2+ y^2}\ge 0

    Poiché è non negativa per ogni (x,y)\in\mathbb{R}^2, allora (0,0) è un punto di minimo assoluto. 

     

    Punto critico per una funzione di due variabili

    Esempio di punto critico (ma non stazionario) di una funzione di due variabili.

     

    Tra tutti i punti di non differenziabilità, quelli più interessanti sono sempre e comunque i punti di massimo e i punti di minimo relativi o assoluti; gli altri non sono classificati.

    ***

    Per approfondire: punti stazionari.

    Risposta di Ifrit
 
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