Esercizio sul dominio di una funzione di due variabili

Ciao, qualcuno spiegarmi come trovare il dominio di questa funzione di due variabili reali? Avrei davvero bisogno di vedere i vari passaggi per trovare il dominio...Grazie mille in anticipo! ( non so cosa fare con l'esponente -.-) 

f(x,y) = (√(xe^x+e^x-ye^x))/(ln(x^2+y^2))

Domanda di nea16
Soluzioni

Ciao Nea16, un attimo di pazienza e sono da te...

Risposta di Omega

Per determinare il dominio della funzione

f(x,y) = (√(xe^x+e^x-ye^x))/(ln(x^2+y^2))

dobbiamo imporre due condizioni: la prima si riferisce alla radice, e dobbiamo richiedere che l'argomento sia non negativo (maggiore-uguale a zero), quindi

xe^(x)+e^x-ye^x ≥ 0

possiamo raccogliere e^x

e^(x)(x+1-y) ≥ 0

e semplificarlo, perché è un termine sempre positivo

x+1-y ≥ 0

riscriviamo la condizione nella forma

y ≤ x+1

che ci dice di considerare i punti del piano cartesiano che si trovano al di sotto della retta di equazione y = x+1.

Per quanto riguarda il logaritmo, dobbiamo richiedere che l'argomento sia strettamente positivo,  ma essendo x^2+y^2 una quantota non negativa (somma di quadrati) possiamo limitarci a chiedere che 

(x,y) ≠ (0,0)

il che equivale ad escludere l'origine.

Infine, richiediamo che il denominatore sia diverso da zero, ovvero

log(x^2+y^2) ≠ 0

che equivale a chiedere

x^2+y^2 ≠ 1

il che equivale ad escludere tutti i punti della circonferenza di centro (0,0) e raggio 1 (attenzione: i punti della circonferenza, non del cerchio...)

Mettendo a sistema le tre condizioni (devono valere "simultaneamente") si ottiene il dominio della funzione considerata. Naturalmente, il sistema non va risolto...Wink

Namasté!

Risposta di Omega

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