Soluzioni
  • Un falso quadrato è un polinomio del tipo

    a^2+ab+b^2\ \ \ \mbox{ oppure }\ \ \ a^2-ab+b^2

    Ossia il falso quadrato è un trinomio formato da tre monomi di cui:

    - due di tali monomi sono dei quadrati e sono preceduti dal segno +;

    - il terzo monomio è invece ottenuto dal prodotto tra la basi degli altri due monomi e può essere preceduto dal segno - o dal segno +. Tale monomio è detto termine misto del falso quadrato.

    Il nome falso quadrato deriva dal fatto che i polinomi così fatti sembrano lo sviluppo di un quadrato di binomio, ma in realtà non lo sono perché invece del doppio prodotto compare solo il prodotto delle basi dei monomi quadratici.

     

    Esempi di falsi quadrati

    4x^2-6xy+9y^2

    è un falso quadrato; infatti il primo e l'ultimo monomio sono due quadrati di base 2x e 3y ed il rimanente monomio è ottenuto dal loro prodotto.

    2x^2+\sqrt{6}xy^2+3y^4

    è anch'esso un falso quadrato, così come

    49a^2b^2+a^4 b^4-7a^3b^3

    e lasciamo a voi il compito di verificarlo. Mentre

    \\ 25a^2-40ab^3+81b^6 \\ \\ 3x^2y^4 + 2x^2y^2 + \sqrt{6}x^2y^2 \\ \\ 36a^2+54ab-81b^2

    non sono dei falsi quadrati, in quanto nei primi due polinomi non è presente il termine dato dal prodotto delle basi dei quadrati, mentre nell'ultimo trinomio uno dei due quadrati è preceduto dal segno meno.

     

    Falso quadrato di un binomio

    Se è chiaro cos'è un falso quadrato dovrebbe essere immediato ricavare il falso quadrato di un binomio. È infatti sufficiente elevare al quadrato e sommare i due termini che formano il binomio e ad essi aggiungere o sottrarre il loro prodotto ottenendo così il termine misto.

    Ad esempio, dato il binomio 3a+5b, i suoi falsi quadrati sono 9a^2+15ab+25b^2 e 9a^2-15ab+25b^2.

    Osserviamo che il falso quadrato di un binomio compare nella scomposizione di due prodotti notevoli: la somma di due cubi e la differenza di due cubi.

     

    Scomposizione del falso quadrato

    Il falso quadrato non è scomponibile e anticipiamo fin da subito che risulta inefficace anche la regola di Ruffini.

    C'è chi sostiene che il falso quadrato si possa scomporre effettuando un raccoglimento totale tra uno dei due quadrati ed il termine misto, ma questo è quanto mai errato. Ad esempio

    \\ x^2+xy+y^2=x(x+y)+y^2\\ \\ \mbox{oppure}\\ \\ x^2+xy+y^2=x^2+y(x+y)

    è solo un modo alternativo di scrivere il falso quadrato ma non è la sua scomposizione.

    Ricordiamo infatti che scomporre un polinomio vuol dire scriverlo come prodotto tra due polinomi di grado inferiore mentre procedendo come sopra ci si riduce alla somma o alla differenza tra un polinomio ed un monomio.

     

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    Risposta di Galois
 
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