Posizione reciproca di due rette nel piano

Due rette nel piano possono essere incidenti, parallele distinte oppure parallele coincidenti. Studiare la posizione reciproca di due rette nel piano significa stabilire se esse sono incidenti, parallele distinte oppure parallele coincidenti a partire dalle loro equazioni.

Cerchiamo di essere più precisi e consideriamo due rette nel piano cartesiano. Come già anticipato, per quanto concerne la loro posizione reciproca possono presentarsi tre possibili configurazioni: le rette possono essere parallele coincidenti, parallele distinte oppure incidenti. In particolare:

• sono rette incidenti se si intersecano in uno e un solo punto.

• sono rette parallele distinte se non hanno alcun punto in comune;

• sono rette parallele coincidenti se sono sovrapposte, ossia se coincidono punto per punto.

Possibili posizioni tra due rette nel piano cartesiano.

Studio della posizione reciproca di due rette nel piano

Vediamo come si affrontano gli esercizi che assegnano le equazioni di due rette nel piano cartesiano e che chiedono di studiare la loro posizione reciproca.

La prima cosa da fare è ricavare l'equazione in forma esplicita di entrambe le rette.

A questo punto possono presentarsi tre eventualità:

1) entrambe le equazioni sono della forma y=mx+q;

2) entrambe le equazioni sono della forma x=k;

3) un'equazione è della forma y=mx+q e l'altra è della forma x=k.

Vediamo come comportarci a seconda dei casi.

Caso 1) Studio della posizione reciproca di due rette nella forma y=mx+q

Siano

le equazioni in forma esplicita delle due rette.

• Se le rette sono incidenti; le coordinate cartesiane del punto di intersezione si ottengono risolvendo il sistema lineare formato dalle due equazioni.

• Se abbiamo due rette parallele, che sono:

- parallele distinte se ;

- parallele coincidenti se .

Caso 2) Studio della posizione reciproca di due rette nella forma x=k

Analizziamo il caso in cui le equazioni in forma esplicita delle due rette sono

Qui c'è davvero poco da fare:

• se , le rette sono parallele coincidenti;

• se , le rette sono parallele distinte.

Caso 3) Studio della posizione reciproca di una retta nella forma y=mx+q e l'altra nella forma x=k

Il caso rimanente è quello più semplice, infatti se una retta ha equazione in forma esplicita del tipo e l'altra ha equazione della forma , allora le due rette sono incidenti.

Laddove richiesto si possono calcolare le coordinate cartesiane del punto di intersezione risolvendo il sistema lineare:

Esempi sullo studio della posizione reciproca di due rette nel piano

1) Siano date le rette di equazioni

Studiare la loro posizione reciproca e, laddove siano incidenti, calcolare le coordinate cartesiane del punto di intersezione.

Svolgimento: la retta è già in forma esplicita, ma non lo è l'equazione della retta , che è data in forma implicita. Passiamo allora dall'equazione in forma implicita all'equazione in forma esplicita:

Le due rette hanno equazioni esplicite della forma , e in particolare:

Poiché i due coefficiente angolari sono diversi, le rette sono incidenti.

Per trovare le coordinate cartesiane del loro punto di intersezione mettiamo le due equazioni a sistema

e risolviamolo con il metodo di sostituzione.

Sostituiamo l'espressione della prima equazione nella seconda

e risolviamo l'equazione di primo grado nell'incognita

Sostituiamo il valore ottenuto per nella prima equazione

e ricaviamo a soluzione del sistema:

Le rette si incontrano dunque nel punto .

2) Studiare la posizione reciproca delle rette

Svolgimento: ricaviamo l'equazione in forma esplicita delle rette

Evidentemente hanno la stessa pendenza

e la stessa ordinata all'origine

per cui sono rette parallele coincidenti.

3) Verificare che

sono rette parallele distinte.

Svolgimento: oramai dovrebbe essere chiaro come si procede. Scriviamo le equazioni in forma esplicita

e confrontiamo tra loro i coefficienti angolari e le ordinate all'origine:

dunque le rette sono effettivamente parallele distinte.

***

Ci fermiamo qui, con un paio di riferimenti utili:

- formulario sulla retta;

- come disegnare una retta nel piano cartesiano.

Qualora volessi vedere come si studia la posizione reciproca di due rette nello spazio - click!