Soluzioni
  • Per risolvere la seguente espressione letterale

    \left[\left(\frac{1}{3}abc\right)^2+\left(\frac{1}{2}a^2b^2c^2\right)^2:\left(\frac{3}{4}abc\right)^2-\frac{3}{4}abc\cdot\left(-\frac{2}{9}abc\right)\right]^2:\left(\frac{5}{18}abc-abc\right)^2=

    è necessario sapere come si svolgono le operazioni tra monomi e come usare le proprietà delle potenze. Iniziamo dalla divisione interna alle parentesi quadre: essa è in particolare la divisione di due potenze aventi lo stesso esponente, dunque può essere espressa come un'unica potenza con lo stesso esponente e avente per base il quoziente delle basi

    =\left[\left(\frac{1}{3}abc\right)^2+\left[\frac{1}{2}a^2b^2c^2:\left(\frac{3}{4}abc\right)\right]^2-\frac{3}{4}abc\cdot\left(-\frac{2}{9}abc\right)\right]^2:\left(\frac{5}{18}abc-abc\right)^2=

    Calcoliamo il quoziente tra i monomi \frac{1}{2}a^2b^2c^2\ \mbox{e} \ \frac{3}{4}abc: basta dividere tra loro i coefficienti per la parte numerica, e usare la regola sul quoziente di potenze per calcolare la parte letterale

    \\ =\left[\left(\frac{1}{3}abc\right)^2+\left[\left(\frac{1}{2}:\frac{3}{4}\right)a^{2-1}b^{2-1}c^{2-1}\right]^2-\frac{3}{4}abc\cdot\left(-\frac{2}{9}abc\right)\right]^2:\left(\frac{5}{18}abc-abc\right)^2= \\ \\ \\ =\left[\left(\frac{1}{3}abc\right)^2+\left[\left(\frac{1}{2}:\frac{3}{4}\right)a^{1}b^{1}c^{1}\right]^2-\frac{3}{4}abc\cdot\left(-\frac{2}{9}abc\right)\right]^2:\left(\frac{5}{18}abc-abc\right)^2= \\ \\ \\ =\left[\left(\frac{1}{3}abc\right)^2+\left[\left(\frac{1}{2}:\frac{3}{4}\right)abc\right]^2-\frac{3}{4}abc\cdot\left(-\frac{2}{9}abc\right)\right]^2:\left(\frac{5}{18}abc-abc\right)^2=

    Eseguiamo la divisione tra le frazioni \frac{1}{2}\ \mbox{e} \ \frac{3}{4} trasformandola nel prodotto tra la prima per il reciproco della frazione divisore

    =\left[\left(\frac{1}{3}abc\right)^2+\left[\left(\frac{1}{2}\cdot\frac{4}{3}\right)abc\right]^2-\frac{3}{4}abc\cdot\left(-\frac{2}{9}abc\right)\right]^2:\left(\frac{5}{18}abc-abc\right)^2=

    Semplifichiamo in croce 2 e 4, dopodiché moltiplichiamo:

    \\ =\left[\left(\frac{1}{3}abc\right)^2+\left[\left(\frac{1}{1}\cdot\frac{2}{3}\right)abc\right]^2-\frac{3}{4}abc\cdot\left(-\frac{2}{9}abc\right)\right]^2:\left(\frac{5}{18}abc-abc\right)^2=\\ \\ \\ =\left[\left(\frac{1}{3}abc\right)^2+\left[\frac{2}{3}abc\right]^2-\frac{3}{4}abc\cdot\left(-\frac{2}{9}abc\right)\right]^2:\left(\frac{5}{18}abc-abc\right)^2=

    Occupiamoci delle potenze di monomi: basta distribuire gli esponenti a ciascun fattore della base e applicare la regola relativa alla potenza di una potenza

    \\ =\left[\left(\frac{1}{3}\right)^2a^2b^2c^2+\left(\frac{2}{3}\right)^2a^2b^2c^2-\frac{3}{4}abc\cdot\left(-\frac{2}{9}abc\right)\right]^2:\left(\frac{5}{18}abc-abc\right)^2=\\ \\ \\ =\left[\frac{1}{9}a^2b^2c^2+\frac{4}{9}a^2b^2c^2-\frac{3}{4}abc\cdot\left(-\frac{2}{9}abc\right)\right]^2:\left(\frac{5}{18}abc-abc\right)^2=

    Procediamo con le operazioni interne alle parentesi quadre: poiché la moltiplicazione ha la precedenza sull'addizione, calcoliamo il prodotto tra i monomi -\frac{3}{4}abc\ \mbox{e} \ -\frac{2}{9}abc:

    =\left[\frac{1}{9}a^2b^2c^2+\frac{4}{9}a^2b^2c^2+\left(-\frac{3}{4}\cdot \left(-\frac{2}{9}\right)\right)a^2b^2c^2\right]^2:\left(\frac{5}{18}abc-abc\right)^2=

    Semplifichiamo in croce 3 con 9 e 2 con 4, dopodiché usiamo la regola dei segni per attribuire il segno corretto al prodotto

    \\ =\left[\frac{1}{9}a^2b^2c^2+\frac{4}{9}a^2b^2c^2+\left(-\frac{1}{2}\cdot \left(-\frac{1}{3}\right)\right)a^2b^2c^2\right]^2:\left(\frac{5}{18}abc-abc\right)^2=\\ \\ \\ \\ =\left[\frac{1}{9}a^2b^2c^2+\frac{4}{9}a^2b^2c^2+\frac{1}{6}a^2b^2c^2\right]^2:\left(\frac{5}{18}abc-abc\right)^2=

    A questo punto, possiamo dedicarci alle somme e differenze dei monomi simili per i quali basta sommare algebricamente i coefficienti!

    =\left[\left(\frac{1}{9}+\frac{4}{9}+\frac{1}{6}\right)a^2b^2c^2\right]^2:\left(\left(\frac{5}{18}-1\right)abc\right)^2=

    Dopo averle espresse a denominatore comune, determiniamo le somme tra le frazioni

    \\ =\left[\left(\frac{2+8+3}{18}\right)a^2b^2c^2\right]^2:\left(\left(\frac{5-18}{18}\right)abc\right)^2=\\ \\ \\ = \left[\frac{13}{18}a^2b^2c^2\right]^2:\left(-\frac{13}{18}abc\right)^2=

    e in seguito sfruttiamo nuovamente la regola sul quoziente di due potenze con lo stesso esponente così da ricondurci ala seguente espressione

    \\ = \left[\frac{13}{18}a^2b^2c^2:\left(-\frac{13}{18}abc\right)\right]^2= \\ \\ \\ = \left[\frac{13}{18}:\left(-\frac{13}{18}\right)a^{2-1}b^{2-1}c^{2-1}\right]^2=

    Scriviamo la divisione tra frazioni come prodotto della prima per il reciproco della seconda, dopodiché semplifichiamo in croce

    \\ = \left[\frac{13}{18}\cdot\left(-\frac{18}{13}\right)a^{1}b^{1}c^{1}\right]^2= \\ \\ \\ = \left[\frac{1}{1}\cdot\left(-\frac{1}{1}\right)abc\right]^2=\\ \\ \\ =\left[-abc\right]^2=

    Svolgiamo l'ultima potenza e scriviamo il risultato

    =a^2b^2c^2

    Abbiamo finito.

    Risposta di Galois
 
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