Soluzioni
  • Premetto che il formulario sulla circonferenza ci tornerà particolarmente utile... ;)

    Consideriamo il fascio di circonferenze

    \Gamma_k: x^2+y^2-2kx+(1-k)y+2=0

    Effettuiamo una messa in evidenza parziale rispetto a k:

    \Gamma_k:x^2 + y^2+y+2+k\overbrace{(-2x-y)}^{=0\mbox{ asse radicale}}=0 [edit]

    l'equazione dell'asse radicale è quindi:

    A_s: -2x-y=0\iff 2x+y=0

    Per determinare i punti base dobbiamo risolvere il sistema:

    \begin{cases}x^2+y^2-2k x+(1-k)y+2=0\\ y=-2x\end{cases}

    La cui equazione di secondo grado risolvente è:

    5x^2-2x+2=0

    Il cui discriminante è:

    \Delta= 4-40\textless 0

    Non abbiamo punti base, perché l'equazione risolvente non ammette soluzioni.

    Osserviamo che per come è dato il fascio di circonferenze, possiamo calcolare il centro della circonferenza generica, che avrà di coordinate:

    C\left(-\frac{-2k}{2}, -\frac{1-k}{2}\right)= \left(k, \frac{k-1}{2}\right)

    Per determinare l'equazione della retta su cui giacciono i centri dobbiamo semplicemente determinare l'equazione della retta passante per C e perpendicolare all'asse radiale:

    r_C: y-\frac{k-1}{2}= m_{r_C}(x-k)

    dove

    m_{r_C}= -\frac{1}{m_{A_s}}= \frac{1}{2}

    quindi:

    r_C: y-\frac{k-1}{2}=\frac{1}{2}(x-k)\iff  y=\frac{x}{2}-\frac{1}{2}

    Per determinare il raggio della circonferenza generica, utilizziamo la formula:

    r=\sqrt{k^2+\left(\frac{k-1}{2}\right)^2-2}

    sviluppando i conti:

    r=\sqrt{\frac{1}{4}(5 k^2-2k-7)}

    Affinché la circonferenza esista, dobbiamo pretendere che il raggio esista e questo avviene quando il radicando della radice precedente è positivo:

    5 k^2-2k-7\textgreater 0

    che è una disequazione di secondo grado. Il discriminante associato è:

    \Delta= 144\implies \sqrt{\Delta}= 12

    Le soluzioni della equazione associata sono:

    k_1=-1,\,\, k_2= \frac{7}{5}

    l'insieme soluzione della disequazione è quindi:

    k\textless -1\vee k\textgreater \frac{7}{5}

    Risposta di Ifrit
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