Asse radicale e punti base di un fascio di circonferenze

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Mi spiegate come trovare l'asse radicale e i punti base di un fascio di circonferenze in questo esercizio di Geometria Analitica?

 

Si consideri il fascio di circonferenze determinato dalle due circonferenze x^2+y^2-16x+39=0 e x^2+y^2-4x-6y+3=0. Se ne trovi l'asse radicale e si determino, poi, i punti base A e B comuni a tutte le circonferenze del fascio. Si scriva infine l'equazione della circonferenza del fascio passante per l'origine.

Grazie!

Domanda di Francesca

 
Soluzioni

  • Ciao Francesca arrivo :D

    Risposta di Ifrit

  • Per determinare l'asse radicale metti a sistema le equazioni delle due circonferenze:

    x^2+y^2-16x+39 = 0 ; x^2+y^2-4x-6y+3 = 0

    Procedi per riduzione:

    x^2+y^2-16x+39-(x^2+y^2-4x-6y+3) = 0

    -12 x+6y+36 = 0 

    Questa è l'equazione dell'asse radicale.

    Per trovare i punti di intersezione dobbiamo mettere a sistema una delle circonferenze con l'equazione dell'asse radicale:

    x^2+y^2-16x+39 = 0 ;-12x+6y+36 = 0

    Per sostituzione, dalla seconda equazione isoliamo y:

    y = 2x-6

    e sostituisci nella prima equazione

    x^2+(2x-6)^2-16x+39 = 0

    da cui otteniamo l'equazione:

    5x^2-40x+75 = 0 ⇔ x^2-8x+15 = 0

    Le soluzioni sono:

    x_1 = 3 ⇒ y_1 = 2 x_1-6 = 0

    x_2 = 5 ⇒ y_2 = 2x_2-6 = 4

    I punti A e B sono:

    A(3, 0)

    B(5, 4)

     

    Costruiamo il fascio di circonferenze generato dalle circonferenze:

    Γ_k:x^2+y^2-16x+39+k(x^2+y^2-4x-6y+3) = 0

    Dobbiamo determinare k, e per farlo imponiamo la condizione di appartenenza:

    (0,0)∈Γ_k ⇔ 39+3k = 0 ⇒ k = -13

    l'equazione della circonferenza cercata è quindi:

    Γ_k:x^2+y^2-16x+39-13(x^2+y^2-4x-6y+3) = 0

    12x^2+12 y^2-36 x-78y = 0

     

    ed è tutto. :)

    Risposta di Ifrit
 
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