Asse radicale e punti base di un fascio di circonferenze

Mi spiegate come trovare l'asse radicale e i punti base di un fascio di circonferenze in questo esercizio di Geometria Analitica?

Si consideri il fascio di circonferenze determinato dalle due circonferenze x^2+y^2-16x+39=0 e x^2+y^2-4x-6y+3=0. Se ne trovi l'asse radicale e si determino, poi, i punti base A e B comuni a tutte le circonferenze del fascio. Si scriva infine l'equazione della circonferenza del fascio passante per l'origine.

Grazie!

Domanda di Francesca
Soluzioni

Ciao Francesca arrivo :D

Risposta di Ifrit

Per determinare l'asse radicale metti a sistema le equazioni delle due circonferenze:

x^2+y^2-16x+39 = 0 ; x^2+y^2-4x-6y+3 = 0

Procedi per riduzione:

x^2+y^2-16x+39-(x^2+y^2-4x-6y+3) = 0

-12 x+6y+36 = 0 

Questa è l'equazione dell'asse radicale.

Per trovare i punti di intersezione dobbiamo mettere a sistema una delle circonferenze con l'equazione dell'asse radicale:

x^2+y^2-16x+39 = 0 ;-12x+6y+36 = 0

Per sostituzione, dalla seconda equazione isoliamo y:

y = 2x-6

e sostituisci nella prima equazione

x^2+(2x-6)^2-16x+39 = 0

da cui otteniamo l'equazione:

5x^2-40x+75 = 0 ⇔ x^2-8x+15 = 0

Le soluzioni sono:

x_1 = 3 ⇒ y_1 = 2 x_1-6 = 0

x_2 = 5 ⇒ y_2 = 2x_2-6 = 4

I punti A e B sono:

A(3, 0)

B(5, 4)

Costruiamo il fascio di circonferenze generato dalle circonferenze:

Γ_k:x^2+y^2-16x+39+k(x^2+y^2-4x-6y+3) = 0

Dobbiamo determinare k, e per farlo imponiamo la condizione di appartenenza:

(0,0)∈Γ_k ⇔ 39+3k = 0 ⇒ k = -13

l'equazione della circonferenza cercata è quindi:

Γ_k:x^2+y^2-16x+39-13(x^2+y^2-4x-6y+3) = 0

12x^2+12 y^2-36 x-78y = 0

ed è tutto. :)

Risposta di Ifrit

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