Asse radicale e punti base di un fascio di circonferenze

Mi spiegate come trovare l'asse radicale e i punti base di un fascio di circonferenze in questo esercizio di Geometria Analitica?

 

Si consideri il fascio di circonferenze determinato dalle due circonferenze x^2+y^2-16x+39=0 e x^2+y^2-4x-6y+3=0. Se ne trovi l'asse radicale e si determino, poi, i punti base A e B comuni a tutte le circonferenze del fascio. Si scriva infine l'equazione della circonferenza del fascio passante per l'origine.

Grazie!

In Superiori - Geometria - Domanda di Francesca

 
Soluzioni

  • Ciao Francesca arrivo :D

    Risposta di Ifrit

  • Per determinare l'asse radicale metti a sistema le equazioni delle due circonferenze:

    \begin{cases}x^2+y^2-16x+39=0\\ x^2+y^2-4x-6y+3=0\end{cases}

    Procedi per riduzione:

    x^2+y^2-16x+39-(x^2+y^2-4x-6y+3)=0

    -12 x+6y+36=0 

    Questa è l'equazione dell'asse radicale.

    Per trovare i punti di intersezione dobbiamo mettere a sistema una delle circonferenze con l'equazione dell'asse radicale:

    \begin{cases}x^2+y^2-16x+39=0\\ -12x+6y+36=0 \end{cases}

    Per sostituzione, dalla seconda equazione isoliamo y:

    y= 2x-6

    e sostituisci nella prima equazione

    x^2+(2x-6)^2-16x+39=0

    da cui otteniamo l'equazione:

    5x^2-40x+75=0\iff x^2-8x+15=0

    Le soluzioni sono:

    x_1=3\implies y_1= 2 x_1-6= 0

    x_2=5\implies y_2= 2x_2-6= 4

    I punti A e B sono:

    A(3, 0)

    B(5, 4)

     

    Costruiamo il fascio di circonferenze generato dalle circonferenze:

    \Gamma_k:x^2+y^2-16x+39+k(x^2+y^2-4x-6y+3)=0

    Dobbiamo determinare k, e per farlo imponiamo la condizione di appartenenza:

    (0,0)\in\Gamma_k\iff 39+3k=0\implies k= -13

    l'equazione della circonferenza cercata è quindi:

    \Gamma_k:x^2+y^2-16x+39-13(x^2+y^2-4x-6y+3)=0

    12x^2+12 y^2-36 x-78y=0

     

    ed è tutto. :)

    Risposta di Ifrit
 
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