Semplificare polinomio con prodotti notevoli

Question

In un esercizio devo semplificare un polinomio con i prodotti notevoli e con le operazioni tra polinomi. Dato che non so come risolverlo, chiedo aiuto a voi.

L'espressione polinomiale da semplificare è

Grazie.

Fulvio Sbranchella · Accepted Answer

Questo esercizio consiste essenzialmente nel non farsi prendere dal panico per la presenza di esponenti generici e nell'applicare le proprietà delle potenze, e usare all'occorrenza i prodotti notevoli. [(x^(n+2)y^n-2 x^(2n)y^(n+2)):(-0.5 x^n y^(n-1))]^2-3x^4 y^2-16 x^n y^4 (x^n y^2-2x^2) Per effettuare la divisione tra polinomi e monomi all'interno delle parentesi quadre, raccogliamo tutto ciò che può essere raccolto dal dividendo, eseguiamo cioè un raccoglimento totale. [x^n y^n (x^2-2 x^n y^2): (-0.5 x^n y^(n-1))]^2-3x^4 y^2-16 x^n y^4 (x^n y^2-2x^2) = Naturalmente possiamo associare al numero decimale 0.5 la sua frazione generatrice 0.5 = (1)/(2) e grazie alle proprietà delle potenze effettuiamo la divisione in tutta tranquillità. = [-2 y (x^2-2x^ny^2)]^2-3 x^4 y^2-16 x^n y^4 (x^n y^2-2x^2) = Eleviamo al quadrato il prodotto presente nelle parentesi quadre. = 4y^2 (x^2-2x^n y^2)^2-3x^4 y^2-16 x^n y^4 (x^n y^2-2x^2) = Sviluppiamo il quadrato (x^2-2x^n y^2)^2 e per farlo utilizziamo il quadrato di binomio. = 4y^2 (x^4-4x^(n+2) y^2+4x^(2n)y^4)-3x^4 y^2-16 x^n y^4 (x^n y^2-2x^2) = Svolgiamo i prodotti ; = x^4 y^2-16 x^(n+2)y^4+16x^(2n)y^6-3 x^4 y^2-16 x^n y^4 (x^n y^2-2x^2) = x^4 y^2-16 x^(n+2)y^4+16 x^(2n)y^6-3 x^4 y^2-16 x^(2n)y^6+32 x^(n+2)y^4 = Sommiamo e sottraiamo tra loro i monomi simili. = -2x^4 y^2+16 x^(n+2)y^4 e abbiamo finito.

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