Soluzioni
  • L'esercizio ci chiede di utilizzare i prodotti notevoli per semplificare l'espressione con polinomi a coefficienti fratti

    \left[\left(\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}y\right)^3-\frac{1}{9}xy(2x+4y)-\frac{8}{27}y^3\right]\cdot 3x+\left(\frac{1}{3}x^2+y^2\right)\left(y^2-\frac{1}{3}x^2\right)

    Non partiamo a razzo con lo svolgimento, prendiamoci un po' di tempo per comprende quali possano essere le regole che possono aiutarci. Certamente interviene:

    - la regola sul cubo di binomio

    (A+B)^3=A^3+3A^2B+3AB^2+B^3

    grazie al quale espliciteremo \left(\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}y\right)^3;

    - la regola sul prodotto della somma per la differenza di due monomi

    (A+B)(A-B)=A^2-B^2

    con cui saremo in grado di svolgere il prodotto \left(\frac{1}{3}x^2+y^2\right)\left(y-\frac{1}{3}x^2\right).

    Per non appesantire troppo l'esposizione, sviluppiamo a parte il cubo e il prodotto della somma per differenza, dopodiché rimpiazziamo i risultati nell'espressione.

    Cominciamo dal cubo di binomio

    \left(\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}y\right)^3=\left(\frac{1}{3}x\right)^3+3\left(\frac{1}{3}x\right)^2\left(\frac{2}{3}y\right)+3\left(\frac{1}{3}x\right)\left(\frac{2}{3}y\right)^2+\left(\frac{2}{3}y\right)^3=

    Sviluppiamo le potenze dei monomi distribuendo gli esponenti a ciascun fattore delle basi e applichiamo le dovute proprietà delle potenze per semplificare a dovere i termini

    =\frac{1}{27}x^3+3\cdot\frac{1}{9}x^2\cdot \frac{2}{3}y+3\cdot\frac{1}{3}x\cdot\frac{4}{9}y^2+\frac{8}{27}y^3=

    Portiamo a termine le operazioni tra i monomi

    =\frac{1}{27}x^3+\frac{2}{9}x^2y+\frac{4}{9}xy^2+\frac{8}{27}y^3

    Sviluppato il cubo di binomio, usiamo la regola sul prodotto di una somma per una differenza per esplicitare il seguente:

    \\ \left(\frac{1}{3}x^2+y^2\right)\left(y-\frac{1}{3}x^2\right)=\left(y+\frac{1}{3}x^2\right)\left(y-\frac{1}{3}x^2\right)= \\ \\ \\ = y^2-\left(\frac{1}{3}x^2\right)^2=y^2-\frac{1}{9}x^{4}

    Rimpiazziamo i risultati nell'espressione

    \left[\left(\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}y\right)^3-\frac{1}{9}xy(2x+4y)-\frac{8}{27}y^3\right]\cdot 3x+\left(\frac{1}{3}x^2+y^2\right)\left(y^2-\frac{1}{3}x^2\right)=

    che diventa

    =\left[\frac{1}{27}x^3+\frac{2}{9}x^2y+\frac{4}{9}xy^2+\frac{8}{27}y^3-\frac{1}{9}xy(2x+4y)-\frac{8}{27}y^3\right]\cdot 3x+y^2-\frac{1}{9}x^{4}=

    Concentriamo la nostra attenzione sulle operazioni presenti nelle parentesi quadre, in particolare svolgiamo l'unico prodotto tra il monomio e il polinomio: basta moltiplicare -\frac{1}{9}xy per ciascun termine del binomio (2x+4y), usando la regola dei segni per attribuire i segni corretti al risultato.

    =\left[\frac{1}{27}x^3+\frac{2}{9}x^2y+\frac{4}{9}xy^2+\frac{8}{27}y^3-\frac{2}{9}x^2y-\frac{4}{9}xy^2-\frac{8}{27}y^3\right]\cdot 3x+y^2-\frac{1}{9}x^{4}=

    Cancelliamo i monomi opposti all'interno delle parentesi

    =\left[\frac{1}{27}x^3\right]\cdot 3x+y^2-\frac{1}{9}x^{4}=

    e moltiplichiamo 3x\ \mbox{e} \ \frac{1}{27}x^3

    \\=\frac{1}{27}\cdot 3x^3\cdot x+y^2-\frac{1}{9}x^{4}= \\ \\ \\ =\frac{1}{9}x^4+y^2-\frac{1}{9}x^4=y^2

    Abbiamo terminato!

    Risposta di Ifrit
 
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