Polinomio da semplificare con i prodotti notevoli

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Ho bisogno di un chiarimento sui prodotti notevoli da utilizzare per semplificare un'espressione di polinomi a coefficienti fratti. Mi pare di capire che si debbano utilizzare la regola sul cubo di binomio e quella sul prodotto di una somma per una differenza, ma applicandole ottengo un risultato differente da quello del libro.

 

Semplificare la seguente espressione polinomiale a coefficienti fratti avvalendosi degli opportuni prodotti notevoli

 

[((1)/(3)x+(2)/(3)y)^3-(1)/(9)xy(2x+4y)-(8)/(27)y^3]·3x+((1)/(3)x^2+y^2)(y^2-(1)/(3)x^2)

 

Grazie.

Domanda di franci26

 
Soluzioni

  • L'esercizio ci chiede di utilizzare i prodotti notevoli per semplificare l'espressione con polinomi a coefficienti fratti

    [((1)/(3)x+(2)/(3)y)^3-(1)/(9)xy(2x+4y)-(8)/(27)y^3]·3x+((1)/(3)x^2+y^2)(y^2-(1)/(3)x^2)

    Non partiamo a razzo con lo svolgimento, prendiamoci un po' di tempo per comprende quali possano essere le regole che possono aiutarci. Certamente interviene:

    - la regola sul cubo di binomio

    (A+B)^3 = A^3+3A^2B+3AB^2+B^3

    grazie al quale espliciteremo ((1)/(3)x+(2)/(3)y)^3;

    - la regola sul prodotto della somma per la differenza di due monomi

    (A+B)(A-B) = A^2-B^2

    con cui saremo in grado di svolgere il prodotto ((1)/(3)x^2+y^2)(y-(1)/(3)x^2).

    Per non appesantire troppo l'esposizione, sviluppiamo a parte il cubo e il prodotto della somma per differenza, dopodiché rimpiazziamo i risultati nell'espressione.

    Cominciamo dal cubo di binomio

    ((1)/(3)x+(2)/(3)y)^3 = ((1)/(3)x)^3+3((1)/(3)x)^2((2)/(3)y)+3((1)/(3)x)((2)/(3)y)^2+((2)/(3)y)^3 =

    Sviluppiamo le potenze dei monomi distribuendo gli esponenti a ciascun fattore delle basi e applichiamo le dovute proprietà delle potenze per semplificare a dovere i termini

    = (1)/(27)x^3+3·(1)/(9)x^2·(2)/(3)y+3·(1)/(3)x·(4)/(9)y^2+(8)/(27)y^3 =

    Portiamo a termine le operazioni tra i monomi

    = (1)/(27)x^3+(2)/(9)x^2y+(4)/(9)xy^2+(8)/(27)y^3

    Sviluppato il cubo di binomio, usiamo la regola sul prodotto di una somma per una differenza per esplicitare il seguente:

    ((1)/(3)x^2+y^2)(y-(1)/(3)x^2) = (y+(1)/(3)x^2)(y-(1)/(3)x^2) = y^2-((1)/(3)x^2)^2 = y^2-(1)/(9)x^(4)

    Rimpiazziamo i risultati nell'espressione

    [((1)/(3)x+(2)/(3)y)^3-(1)/(9)xy(2x+4y)-(8)/(27)y^3]·3x+((1)/(3)x^2+y^2)(y^2-(1)/(3)x^2) =

    che diventa

    = [(1)/(27)x^3+(2)/(9)x^2y+(4)/(9)xy^2+(8)/(27)y^3-(1)/(9)xy(2x+4y)-(8)/(27)y^3]·3x+y^2-(1)/(9)x^(4) =

    Concentriamo la nostra attenzione sulle operazioni presenti nelle parentesi quadre, in particolare svolgiamo l'unico prodotto tra il monomio e il polinomio: basta moltiplicare -(1)/(9)xy per ciascun termine del binomio (2x+4y), usando la regola dei segni per attribuire i segni corretti al risultato.

    = [(1)/(27)x^3+(2)/(9)x^2y+(4)/(9)xy^2+(8)/(27)y^3-(2)/(9)x^2y-(4)/(9)xy^2-(8)/(27)y^3]·3x+y^2-(1)/(9)x^(4) =

    Cancelliamo i monomi opposti all'interno delle parentesi

    = [(1)/(27)x^3]·3x+y^2-(1)/(9)x^(4) =

    e moltiplichiamo 3x e (1)/(27)x^3

    = (1)/(27)·3x^3·x+y^2-(1)/(9)x^(4) = (1)/(9)x^4+y^2-(1)/(9)x^4 = y^2

    Abbiamo terminato!

    Risposta di Ifrit
 
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