Serie a termini positivi con parametro reale

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Ho bisogno di studiare una serie a termini positivi al variare di un parametro reale. Penso che si debba usare il criterio del confronto asintotico per le serie, ma come?

 

Stabilire il carattere della seguente serie, al variare del parametro reale x

 

\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{n^2+n+1}{n^x+n^2+1}

 

Grazie mille.

Domanda di Trial4life

 
Soluzioni

  • L'esercizio ci chiede di stabilire il carattere della serie

    \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{n^2+n+1}{n^x+n^2+1}

    al variare del parametro reale x. Per rispondere al quesito, possiamo tranquillamente procedere con il criterio del confronto asintotico per le serie.

    Per n\to +\infty, il numeratore del termine generale si comporta asintoticamente come n^2 perché è l'infinito di ordine superiore rispetto a n e a 1, pertanto n^2+n+1 è una successione asintoticamente equivalente a n^2:

    n^2+n+1\sim n^2 \ \ \ \mbox{per} \ n\to +\infty

    Per quanto concerne il denominatore, la presenza del parametro complica leggermente le cose:

    - se x<2, il termine n^2 è un infinito di ordine superiore rispetto a n^x e 1 per cui sussiste la relazione asintotica

    n^x+n^2+1\sim n^2 \ \ \ \mbox{per } \ n\to +\infty

    - se x=2, il denominatore diviene 2n^2+1 e, per n che tende a infinito, si comporta asintoticamente come 2n^2

    2n^2+1\sim 2n^2 \ \ \ \mbox{per} \ n\to +\infty

    - se x>2, il termine n^x è un infinito di ordine superiore rispetto a n^2 e a 1, per cui vale la relazione asintotica

    n^x+n^2+1\sim n^{x} \ \ \ \mbox{per}\ n\to +\infty

    Per il termine generale della serie valgono, pertanto, le seguenti relazioni asintotiche:

    \frac{n^2+n+1}{n^{x}+n^2+1}\sim\begin{cases}\dfrac{n^2}{n^2}=1&\mbox{se} \ x<2\\ \\ \dfrac{n^2}{2n^2}=\dfrac{1}{2}&\mbox{se}\ x=2 \\ \\ \dfrac{n^2}{n^x}=\dfrac{1}{n^{x-2}}&\mbox{se} \ x>2\end{cases}

    grazie alle quali possiamo concludere che:

    - se x\le 2, la serie non può convergere perché viene meno la condizione necessaria per la convergenza, infatti

    \lim_{n\to+\infty}\frac{n^{2}+n+1}{n^x+n^2+1}=\begin{cases}1&\mbox{se} \ x<2\\ \\ \dfrac{1}{2}&\mbox{se} \ x=2\end{cases}

    - se x>2, la serie

    \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{n^2+n+1}{n^x+n^2+1}

    ha lo stesso carattere della serie armonica generalizzata

    \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^{x-2}}

    che converge se e solo se l'esponente di n^{x-2} è maggiore di 1

    x-2>1 \ \ \ \to \ \ \ x>3

    mentre diverge per x\le 3.

    In definitiva

    \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{n^2+n+1}{n^x+n^2+1}

    converge se e solo se x>3, in tutti gli altri casi diverge positivamente.

    Fatto!

    Risposta di Ifrit
 
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