Serie a termini positivi con parametro reale
Ho bisogno di studiare una serie a termini positivi al variare di un parametro reale. Penso che si debba usare il criterio del confronto asintotico per le serie, ma come?
Stabilire il carattere della seguente serie, al variare del parametro reale
Grazie mille.
L'esercizio ci chiede di stabilire il carattere della serie
al variare del parametro reale . Per rispondere al quesito, possiamo tranquillamente procedere con il criterio del confronto asintotico per le serie.
Per , il numeratore del termine generale si comporta asintoticamente come
perché è l'infinito di ordine superiore rispetto a
e a
, pertanto
è una successione asintoticamente equivalente a
:
Per quanto concerne il denominatore, la presenza del parametro complica leggermente le cose:
- se , il termine
è un infinito di ordine superiore rispetto a
e
per cui sussiste la relazione asintotica
- se , il denominatore diviene
e, per
che tende a infinito, si comporta asintoticamente come
- se , il termine
è un infinito di ordine superiore rispetto a
e a
, per cui vale la relazione asintotica
Per il termine generale della serie valgono, pertanto, le seguenti relazioni asintotiche:
grazie alle quali possiamo concludere che:
- se , la serie non può convergere perché viene meno la condizione necessaria per la convergenza, infatti
- se , la serie
ha lo stesso carattere della serie armonica generalizzata
che converge se e solo se l'esponente di è maggiore di
mentre diverge per .
In definitiva
converge se e solo se , in tutti gli altri casi diverge positivamente.
Fatto!
Risposta di: Redazione di YouMath (Salvatore Zungri - Ifrit)
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