L'esercizio ci chiede di stabilire il carattere della serie
al variare del parametro reale
. Per rispondere al quesito, possiamo tranquillamente procedere con il criterio del confronto asintotico per le serie.
Per
, il numeratore del termine generale si comporta asintoticamente come
perché è l'infinito di ordine superiore rispetto a
e a
, pertanto
è una successione asintoticamente equivalente a
:
Per quanto concerne il denominatore, la presenza del parametro complica leggermente le cose:
- se
, il termine
è un infinito di ordine superiore rispetto a
e
per cui sussiste la relazione asintotica
- se
, il denominatore diviene
e, per
che tende a infinito, si comporta asintoticamente come
- se
, il termine
è un infinito di ordine superiore rispetto a
e a
, per cui vale la relazione asintotica
Per il termine generale della serie valgono, pertanto, le seguenti relazioni asintotiche:
grazie alle quali possiamo concludere che:
- se
, la serie non può convergere perché viene meno la condizione necessaria per la convergenza, infatti
- se
, la serie
ha lo stesso carattere della serie armonica generalizzata
che converge se e solo se l'esponente di
è maggiore di
mentre diverge per
.
In definitiva
converge se e solo se
, in tutti gli altri casi diverge positivamente.
Fatto!
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