Soluzioni
  • L'esercizio ci chiede di stabilire il carattere della serie

    \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{n^2+n+1}{n^x+n^2+1}

    al variare del parametro reale x. Per rispondere al quesito, possiamo tranquillamente procedere con il criterio del confronto asintotico per le serie.

    Per n\to +\infty, il numeratore del termine generale si comporta asintoticamente come n^2 perché è l'infinito di ordine superiore rispetto a n e a 1, pertanto n^2+n+1 è una successione asintoticamente equivalente a n^2:

    n^2+n+1\sim n^2 \ \ \ \mbox{per} \ n\to +\infty

    Per quanto concerne il denominatore, la presenza del parametro complica leggermente le cose:

    - se x<2, il termine n^2 è un infinito di ordine superiore rispetto a n^x e 1 per cui sussiste la relazione asintotica

    n^x+n^2+1\sim n^2 \ \ \ \mbox{per } \ n\to +\infty

    - se x=2, il denominatore diviene 2n^2+1 e, per n che tende a infinito, si comporta asintoticamente come 2n^2

    2n^2+1\sim 2n^2 \ \ \ \mbox{per} \ n\to +\infty

    - se x>2, il termine n^x è un infinito di ordine superiore rispetto a n^2 e a 1, per cui vale la relazione asintotica

    n^x+n^2+1\sim n^{x} \ \ \ \mbox{per}\ n\to +\infty

    Per il termine generale della serie valgono, pertanto, le seguenti relazioni asintotiche:

    \frac{n^2+n+1}{n^{x}+n^2+1}\sim\begin{cases}\dfrac{n^2}{n^2}=1&\mbox{se} \ x<2\\ \\ \dfrac{n^2}{2n^2}=\dfrac{1}{2}&\mbox{se}\  x=2 \\ \\ \dfrac{n^2}{n^x}=\dfrac{1}{n^{x-2}}&\mbox{se} \ x>2\end{cases}

    grazie alle quali possiamo concludere che:

    - se x\le 2, la serie non può convergere perché viene meno la condizione necessaria per la convergenza, infatti

    \lim_{n\to+\infty}\frac{n^{2}+n+1}{n^x+n^2+1}=\begin{cases}1&\mbox{se} \ x<2\\ \\ \dfrac{1}{2}&\mbox{se} \ x=2\end{cases}

    - se x>2, la serie

    \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{n^2+n+1}{n^x+n^2+1}

    ha lo stesso carattere della serie armonica generalizzata

    \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^{x-2}}

    che converge se e solo se l'esponente di n^{x-2} è maggiore di 1

    x-2>1 \ \ \ \to \ \ \ x>3

    mentre diverge per x\le 3.

    In definitiva

    \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{n^2+n+1}{n^x+n^2+1}

    converge se e solo se x>3, in tutti gli altri casi diverge positivamente.

    Fatto!

    Risposta di Ifrit
 
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