Estremo superiore di una successione di funzioni

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La mia successione di funzioni è la seguente: f_n(x) = x+1/n  , su tutto |R.

Ho calcolato il limite puntuale: lim n->infinito [f_n(x)] = x

Ora devo calcolare il limite uniforme, ovvero il 

lim n->infinito [sup(x appartiene ad |R) |x+1/n-x|] =

= lim n->infinito [sup(x appartiene ad |R) |1/n|] = ?

Ora come calcolo l'estremo superiore? Ho pensato di fare il 

lim x->infinito [1/n]

Oppure bisogna risolvere in modo diverso? Grazie :)

Domanda di OxRock

 
Soluzioni

  • Ciao OxRock, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega

  • Un bello studio di convergenza uniforme! Laughing

    L'impostazione che hai adottato va benissimo: stabilito che la successione di funzioni f_{n}(x) converge puntualmente ad un limite (puntuale) f(x), in particolare nel nostro caso f(x)=x, si passa allo studio della convergenza uniforme.

    Per farlo, si fissa un valore di n (generico) e si considera il

    sup_{x\in I}{\left|f_{n}(x)-f(x)\right|}

    Individuato tale estremo superiore, si passa al limite per n\to +\infty

    \lim_{n\to +\infty}{sup_{x\in I}{\left|f_{n}(x)-f(x)\right|}}

    se tale limite vale zero, allora la successione f_{n}(x) converge uniformemente a f(x) per n\to +\infty.

    Nel nostro caso I=\mathbb{R} (la convergenza uniforma è una nozione fortemente vincolata all'intervallo che si considera) e quindi se consideriamo, fissato n

    sup_{x\in \mathbb{R}}{\left|x+\frac{1}{n}-x\right|}

    vediamo che la quantità di cui valutiamo l'estremo superiore non dipende in realtà da x

    sup_{x\in \mathbb{R}}{\left|\frac{1}{n}\right|}

    in una parola: è costante rispetto a x e quindi molto semplicemente

    sup_{x\in \mathbb{R}}{\left|\frac{1}{n}\right|}=\frac{1}{n}

    passando al limite per n\to +\infty per l'estremo superiore individuato, abbiamo che il risultato è zero.

    Abbiamo la convergenza uniforme! Laughing

    Namasté!

    Risposta di Omega

  • Premessa: chiedo scusa, ho scoperto solo ora che supportate LaTeX, d'ora in poi mi adeguerò XD

    Perfetto, ho solo un altro piccolo dubbio. Se f_{n}(x) non è costante rispetto ad x, ma dipende anche dalla variabile x, è giusto farne il \lim_{n\to +\infty} ? O in quel caso dovrei studiarne la derivata prima?

     

    Risposta di OxRock

  • Non preoccuparti per il LaTeX :)

    Fare il limite direttamente non è possibile: prima bisogna individuare il sup indipendentemente da n, poi si calcola il limite in n.

    La derivata è una delle strategie possibili, molto dipende dalla successione di funzioni considerata e dalla complessità dell'espressione analitica. Il più delle volte considerazioni di carattere qualitativo, magheggi di suddivisione dell'intervallo considerato, varie ed eventuali consentono di capire se il modulo della differenza è superiormente limitato oppure no...

    Ad ogni modo è difficilissimo (\simeq impossibile) dare una scaletta dei modi per individuare il sup Sealed

    Se vuoi dare un'occhiata con il comando di ricerca, a memoria abbiamo risolto svariati esercizi su continuità puntuale e uniforme.

    Se poi non basta...chiedi, siamo qui apposta Wink

    Namasté!

    Risposta di Omega

  • Grazie mille :)

    Risposta di OxRock
 
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