Polinomio con potenze ennesime e prodotti notevoli

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Dovrei semplificare un'espressione con i polinomi avvalendomi dei prodotti notevoli, però ho un problema: alcuni termini del polinomio sono monomi a esponenti letterali. So che dovrei rifarmi alle proprietà delle potenze, però il risultato che ottengo non coincide con quello del libro.

 

Usare gli opportuni prodotti notevoli per semplificare la seguente espressione:

 

(3-x^n)(1-x^n)-(2-x^n)^2+(1+x^n)(1-x^n)

 

Grazie mille.

Domanda di FrancixD

 
Soluzioni

  • Il primo passaggio che consente di semplificare l'espressione polinomiale

    (3-x^n)(1-x^n)-(2-x^n)^2+(1+x^n)(1-x^n) =

    consiste nello svolgere il prodotto tra i polinomi (3-x^n)(1-x^n): basta distribuire ciascun termine del primo a tutti quelli del secondo

    = 3·1-3x^n-x^(n)-x^n·(-x^n)-(2-x^n)^(2)+(1+x^n)(1-x^n) =

    Portiamo a termine i calcoli, usando la regola sul prodotto di due potenze con la stessa base, in combinazione con la regola dei segni per esplicitare il prodotto -x^(n)·(-x^n):

    = 3-3x^n-x^n+x^(n+n)-(2-x^n)^(2)+(1+x^n)(1-x^n) = 3-3x^n-x^n+x^(2n)-(2-x^n)^(2)+(1+x^n)(1-x^n) = (•)

    Continuiamo con lo sviluppo del quadrato di binomio, (2-x^(n))^(2), usando il prodotto notevole (A+B)^2 = A^2+B^2+2AB, grazie al quale l'espressione diviene:

    (•) = 3-3x^(n)-x^(n)+x^(2n)-(2^2+(x^n)^2-2·2·x^(n))+(1+x^n)(1-x^n) =

    Svolgiamo la potenza di potenza e i vari calcoli nella prima coppia di parenti quadre

    = 3-3x^(n)-x^(n)+x^(2n)-(4+x^(2n)-4x^(n))+(1+x^n)(1-x^n) = 3-3x^(n)-x^(n)+x^(2n)-4-x^(2n)+4x^(n)+(1+x^(n))(1-x^(n)) =

    Invece di portarci fino all'ultimo passaggio tutti i termini, snelliamo un po' l'espressione addizionando tra loro i monomi simili

    = -1+(-3-1+4)x^(n)+(1-1)x^(2n)+(1+x^(n))(1-x^(n)) = -1+(1+x^(n))(1-x^(n)) =

    Siamo prossimi al risultato: basta, infatti, esprimere il prodotto della somma per la differenza dei monomi 1 e x^(n) e svolgere le operazioni che ne conseguono.

    = -1+1-(x^(n))^(2) = -x^(2n)

    Abbiamo terminato.

    Risposta di Ifrit
 
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