Soluzioni
  • Il primo passaggio che consente di semplificare l'espressione polinomiale

    (3-x^n)(1-x^n)-(2-x^n)^2+(1+x^n)(1-x^n)=

    consiste nello svolgere il prodotto tra i polinomi (3-x^n)(1-x^n): basta distribuire ciascun termine del primo a tutti quelli del secondo

    =3\cdot 1-3x^n-x^{n}-x^n\cdot(-x^n)-(2-x^n)^{2}+(1+x^n)(1-x^n)=

    Portiamo a termine i calcoli, usando la regola sul prodotto di due potenze con la stessa base, in combinazione con la regola dei segni per esplicitare il prodotto -x^{n}\cdot (-x^n):

    \\ =3-3x^n-x^n+x^{n+n}-(2-x^n)^{2}+(1+x^n)(1-x^n)= \\ \\ =3-3x^n-x^n+x^{2n}-(2-x^n)^{2}+(1+x^n)(1-x^n)=(\bullet)

    Continuiamo con lo sviluppo del quadrato di binomio, (2-x^{n})^{2}, usando il prodotto notevole (A+B)^2=A^2+B^2+2AB, grazie al quale l'espressione diviene:

     (\bullet)=3-3x^{n}-x^{n}+x^{2n}-(2^2+(x^n)^2-2\cdot 2\cdot x^{n})+(1+x^n)(1-x^n)=

    Svolgiamo la potenza di potenza e i vari calcoli nella prima coppia di parenti quadre

    \\ =3-3x^{n}-x^{n}+x^{2n}-(4+x^{2n}-4x^{n})+(1+x^n)(1-x^n)= \\ \\ =3-3x^{n}-x^{n}+x^{2n}-4-x^{2n}+4x^{n}+(1+x^{n})(1-x^{n})=

    Invece di portarci fino all'ultimo passaggio tutti i termini, snelliamo un po' l'espressione addizionando tra loro i monomi simili

    \\ =-1+(-3-1+4)x^{n}+(1-1)x^{2n}+(1+x^{n})(1-x^{n})= \\ \\ = -1+(1+x^{n})(1-x^{n})=

    Siamo prossimi al risultato: basta, infatti, esprimere il prodotto della somma per la differenza dei monomi 1\ \mbox{e} \ x^{n} e svolgere le operazioni che ne conseguono.

    =-1+1-(x^{n})^{2}= -x^{2n}

    Abbiamo terminato.

    Risposta di Ifrit
 
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