Problema sull'iperbole equilatera

Fissato un sistema di riferimento cartesiano ortogonale Oxy, determinare l'equazione dell'iperbole equilatera xy=k passante per il punto A(1,5). Scrivere le equazioni delle rette tangenti all'iperbole uscenti dal punto P(1,1).

Grazie in anticipo spero riuscirete a spiegarmi il procedimento, anche perchè non sono interessata al risultato!!:)

In Uni - Senza categoria - Domanda di egle

Soluzioni

  • Ciao Egle, arrivo a risponderti...benvenuta in YouMath! :)

    Risposta di Omega

  • Qui mi limito a descrivere il procedimento, se poi ti servono in fondo trovi le soluzioni Wink

    Per prima cosa si considera la famiglia di iperboli equilatere (ti consiglio di dare uno sguardo al formulario sull'iperbole equilatera)

    xy=k

    per individuare quella che passa per il punto A=(1,5) è sufficiente imporre la condizione di passaggio per il punto A, e cioè che le coordinate del punto A x_A,y_A soddisfino l'equazione dell'iperbole.

    Ciò permette di individuare il valore del parametro k.

    Per la seconda richiesta dell'esercizio, avremo un determinato valore di k nell'equazione, e quindi una specifica equazione

    xy=k

    Per individuare le rette richieste bisogna considerare il fascio di rette passanti per il punto P=(1,1). L'equazione del fascio si scrive considerando la generica equazione della retta passante per un punto P e di coefficiente angolare m:

    y-y_P=m(x-x_P)

    La condizione di tangenza tra una retta e un luogo geometrico è che il discriminante dell'equazione di secondo grado che risulta mettendo a sistema le equazioni di retta e luogo geometrico sia zero.

    D'altra parte, l'annullamento del discriminante fornirà in questo caso un'equazione in m che, risolta, permette di individuare la retta tangente cercata.

    Quindi: si mettono a sistema

    y-y_P=m(x-x_P)

    xy=k

    si ricava un'espressione di y dipendente da m,x nell'equazione della retta, si sostituisce nell'equazione dell'iperbole equilatera, si ottiene un'equazione di secondo grado in x, si pone il determinante di tale equazione uguale a zero, si risolve l'equazione che ne deriva (equazione in m) e si determinano i valori di m richiesti.

    Si risostituiscono tali valori di m nell'equazione

    y-y_P=m(x-x_P)

    e...abbiamo finito! Wink

    xy=k

    Sostituisco x=1,y=5 e trovo k=5. L'equazione è quindi

    xy=5

    xy=5

    y-1=m(x-1)

    a sistema otteniamo

    xy=5

    y=m(x-1)+1

    da cui

    x[m(x-1)+1]=5

    Facendo i conti

    mx^2-mx+x-5=0

    Calcoliamo il discriminante e lo poniamo pari a zero:

    (1-m)^2+20m=0

    e troviamo

    m_1=-\frac{1}{9+4\sqrt{5}}

    m_2=-(9+4\sqrt{5})

    Namasté!

    Risposta di Omega

  • In riferimento a questa segnalazione di errore inviata da Egle:

    "egle(egle) ha segnalato una risposta con la seguente motivazione Risultato sbagliato

    Descrizione:

    in realtà viene (18±√320)/2=(18±16√5)/2=9±8√5 e non 4√5"

     

     

    No: il risultato che ho postato nella precedente risposta è corretto. Attenzione che

    \frac{18\pm\sqrt{320}}{2}=\frac{18\pm\sqrt{16\cdot 20}}{2}=\frac{18\pm 4\cdot\sqrt{20}}{2}

    e quindi

    =\frac{18\pm 4\sqrt{4\cdot 5}}{2}=\frac{18\pm 4\cdot 2\sqrt{5}}{2}=

    e quindi

    =\frac{18\pm 8\sqrt{5}}{2}=9\pm 4\sqrt{5}

     

    Namasté!

    Risposta di Omega
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