Problema sull'iperbole equilatera

Qui mi limito a descrivere il procedimento, se poi ti servono in fondo trovi le soluzioni 

Per prima cosa si considera la famiglia di iperboli equilatere (ti consiglio di dare uno sguardo al formulario sull'iperbole equilatera)

per individuare quella che passa per il punto è sufficiente imporre la condizione di passaggio per il punto , e cioè che le coordinate del punto soddisfino l'equazione dell'iperbole.

Ciò permette di individuare il valore del parametro .

Per la seconda richiesta dell'esercizio, avremo un determinato valore di nell'equazione, e quindi una specifica equazione

Per individuare le rette richieste bisogna considerare il fascio di rette passanti per il punto . L'equazione del fascio si scrive considerando la generica equazione della retta passante per un punto e di coefficiente angolare :

La condizione di tangenza tra una retta e un luogo geometrico è che il discriminante dell'equazione di secondo grado che risulta mettendo a sistema le equazioni di retta e luogo geometrico sia zero.

D'altra parte, l'annullamento del discriminante fornirà in questo caso un'equazione in che, risolta, permette di individuare la retta tangente cercata.

Quindi: si mettono a sistema

si ricava un'espressione di dipendente da nell'equazione della retta, si sostituisce nell'equazione dell'iperbole equilatera, si ottiene un'equazione di secondo grado in , si pone il determinante di tale equazione uguale a zero, si risolve l'equazione che ne deriva (equazione in ) e si determinano i valori di richiesti.

Si risostituiscono tali valori di nell'equazione

e...abbiamo finito! 

Sostituisco e trovo . L'equazione è quindi

a sistema otteniamo

da cui

Facendo i conti

Calcoliamo il discriminante e lo poniamo pari a zero:

e troviamo

Namasté!