Ciao Egle, arrivo a risponderti...benvenuta in YouMath! :)
Qui mi limito a descrivere il procedimento, se poi ti servono in fondo trovi le soluzioni
Per prima cosa si considera la famiglia di iperboli equilatere (ti consiglio di dare uno sguardo al formulario sull'iperbole equilatera)
per individuare quella che passa per il punto
è sufficiente imporre la condizione di passaggio per il punto
, e cioè che le coordinate del punto
soddisfino l'equazione dell'iperbole.
Ciò permette di individuare il valore del parametro
.
Per la seconda richiesta dell'esercizio, avremo un determinato valore di
nell'equazione, e quindi una specifica equazione
Per individuare le rette richieste bisogna considerare il fascio di rette passanti per il punto
. L'equazione del fascio si scrive considerando la generica equazione della retta passante per un punto
e di coefficiente angolare
:
La condizione di tangenza tra una retta e un luogo geometrico è che il discriminante dell'equazione di secondo grado che risulta mettendo a sistema le equazioni di retta e luogo geometrico sia zero.
D'altra parte, l'annullamento del discriminante fornirà in questo caso un'equazione in
che, risolta, permette di individuare la retta tangente cercata.
Quindi: si mettono a sistema
si ricava un'espressione di
dipendente da
nell'equazione della retta, si sostituisce nell'equazione dell'iperbole equilatera, si ottiene un'equazione di secondo grado in
, si pone il determinante di tale equazione uguale a zero, si risolve l'equazione che ne deriva (equazione in
) e si determinano i valori di
richiesti.
Si risostituiscono tali valori di
nell'equazione
e...abbiamo finito!
Sostituisco
e trovo
. L'equazione è quindi
a sistema otteniamo
da cui
Facendo i conti
Calcoliamo il discriminante e lo poniamo pari a zero:
e troviamo
Namasté!
In riferimento a questa segnalazione di errore inviata da Egle:
"egle(egle) ha segnalato una risposta con la seguente motivazione Risultato sbagliato
Descrizione:
in realtà viene (18±√320)/2=(18±16√5)/2=9±8√5 e non 4√5"
No: il risultato che ho postato nella precedente risposta è corretto. Attenzione che
e quindi
e quindi
Namasté!
MEDIE | Geometria | Algebra e Aritmetica | |||
SUPERIORI | Algebra | Geometria | Analisi | Altro | |
UNIVERSITÀ | Analisi | Algebra Lineare | Algebra | Altro | |
EXTRA | Pillole | Wiki |