Soluzioni
  • Per determinare le equazioni delle quattro circonferenze richieste inizialmente dall'esercizio è buona cosa non buttarsi nei calcoli ma ragionare con un po' di malizia: questo ci permetterà di scrivere in un batter d'occhio le equazioni richieste.

    L'equazione di una circonferenza di centro (x_C,y_C) e raggio r è data da

    (x-x_C)^2+(y-y_C)^2=r^2

    noi conosciamo il raggio delle quattro circonferenze, che in tutti e quattro i casi misura r. Poi sappiamo che i centri delle circonferenze si trovano sugli assi: gli assi devono quindi contenere i diametri delle circonferenze richieste.

    Infine, sappiamo che tutte e quattro le circonferenze passano per l'origine O=(0,0).

    Avremo allora necessariamente che i centri delle quattro circonferenze sono dati da:

    (0,r),(r,0),(0,-r),(-r,0)

    e quindi le equazioni sono

    (x-r)^2+y^2=r^2

    x^2+(y-r)^2=r^2

    (x+r)^2+y^2=r^2

    x^2+(y+r)^2=r^2

    Disegnando quindi la figura (una sorta di quadrifoglio a foglie circolari) si vede immediatamente che l'unica circonferenza tangente esternamente le quattro circonferenze è la circonferenza di centro O=(0,0) e raggio 2r, che tange le circonferenze nei loro punti di intersezione con gli assi diversi dall'origine:

    x^2+y^2=4r^2

    Che bella la Geometria Analitica senza i calcoli! :P

    Namasté!

    Risposta di Omega
 
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