Per determinare le equazioni delle quattro circonferenze richieste inizialmente dall'esercizio è buona cosa non buttarsi nei calcoli ma ragionare con un po' di malizia: questo ci permetterà di scrivere in un batter d'occhio le equazioni richieste.
L'equazione di una circonferenza di centro
e raggio
è data da
noi conosciamo il raggio delle quattro circonferenze, che in tutti e quattro i casi misura
. Poi sappiamo che i centri delle circonferenze si trovano sugli assi: gli assi devono quindi contenere i diametri delle circonferenze richieste.
Infine, sappiamo che tutte e quattro le circonferenze passano per l'origine
.
Avremo allora necessariamente che i centri delle quattro circonferenze sono dati da:
e quindi le equazioni sono
Disegnando quindi la figura (una sorta di quadrifoglio a foglie circolari) si vede immediatamente che l'unica circonferenza tangente esternamente le quattro circonferenze è la circonferenza di centro
e raggio
, che tange le circonferenze nei loro punti di intersezione con gli assi diversi dall'origine:
Che bella la Geometria Analitica senza i calcoli! :P
Namasté!
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