Monotonia dell'inversa di una funzione strettamente monotona

Ci viene chiesto di dimostrare che una funzione strettamente monotona è iniettiva e che la sua inversa è una funzione strettamente monotona dello stesso tipo.

Consideriamo allora una funzione strettamente monotona

e dimostriamo che è iniettiva e che la sua inversa è una funzione strettamente monotona dello stesso tipo di .

Procediamo: supponiamo senza perdere di generalità che sia strettamente crescente (la dimostrazione nel caso di una funzione strettamente decrescente è del tutto analoga).

Ciò significa che per ogni , tali che , risulta che .

Proviamo che è una funzione iniettiva, ossia che per ogni , se allora .

Siano con . Poiché è un insieme totalmente ordinato, possono presentarsi due possibilità: oppure .

è una funzione strettamente crescente per ipotesi, dunque:

In entrambi i casi e quindi è iniettiva.

Indichiamo ora con l'immagine della funzione . L'iniettività di assicura l'esistenza della funzione inversa

Dimostriamo che è una funzione strettamente crescente, ossia che presi due elementi , con , risulta che .

Poiché esistono tali che e .

Dalla disuguaglianza segue che e per la monotonia strettamente crescente di deve essere .

Osserviamo ora che

per cui dalla relazione segue che .

Ciò prova che anche è una funzione strettamente crescente, e la dimostrazione è conclusa.

Alla prossima!