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  • Riciao legend arrivo :D

     

    Risposta di Ifrit
  • Per ipotesi abbiamo che la funzione in gioco è strettamente monotona:

    Senza perdità di generalità possiamo suppore che la funzione è strettamente crescente e per definizione si ha che:

    \forall x, y\in A\subseteq\mathbb{R}, \,\, x\textless y\implies f(x)\textless f(y)

    Ma questo equivale a dire che si tratta di una funzione iniettiva:

    Infatti se 

    x_1\ne x_2\in A\implies x_1\textless x_2\vee x_1\textgreater x_2

    lo possiamo asserire perché A  è un sottoinsieme R il quale è totalmente ordinato.

    Sfruttando la monotonia:

    f(x_1)\textless f(x_2)\vee f(x_2)\textless f(x_1)

    Questo equivale a dire che:

    \forall x_1, x_2\in\mathbb{R}, x_1\ne x_2\implies f(x_1)\ne f(x_2)

    che è la definizione di iniettività.

    La funzione è invertibile se prendiamo come codominio, l'immagine di quest'ultima quindi esiste:

    f^{-1}: \mbox{Im}(f)\longrightarrow A

    tale che

    f^{-1}(f(x))=x\quad \forall x\in A

    Dobbiamo dimostrare che la funzione è strettamente crescente:

    Siano a, b\in \mbox{Im}(f) tale che a\textless b

    Poiché a e b appartengono all'immagine di f allora esistono

    x_1, x_2\in A: f(x_1)=a, f(x_2)=b

    Poiché

    a\textless b\implies f(x_1)\textless f(x_2) 

    Poiché la funzione è strettamente crescente allora:

    x_1\textless x_2

    Alla disuguaglianza:

    a\textless b applichiamo membro a membro f^{-1}

    f^{-1}(a)= f^{-1}(f(x_1)) =x_1

    f^{-1}(b)=f^{-1}(f(x_2))=x_2

    Ma abbiamo visto che x_1\textless x_2 quindi:

    f^{-1}(a)= x_1\textless x_2= f^{-1}(b)

    Questo dimostra che la funzione inversa è strettamente crescente, come volevamo.

     

    Scusami per il ritardo, mi sono allontanato dal pc

    Risposta di Ifrit
  • Laughing non ti preoccupare per il ritardo! grazie piuttosto !!!Sealed

    Risposta di legend57
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