Perimetro di un rombo con le diagonali

Una delle 2 diagonali di un rombo avente l'area di 336 cm^2 è i 14/25 del lato. Come determino il perimetro?

Per favore la domanda è stata risolta 2 giorni fa ma avrei bisogno dello svolgimento completo di tutte le equazioni. Buon lavoro!

In Medie - Geometria - Domanda di Mary

Soluzioni

Ciao Mary :)

Come prima cosa disegniamoci un rombo - click per le formule

Dai dati forniti dal problema sappiamo che una diagonale (ad esempio ) è i 14/25 del lato obliquo; in formule

$DB=\frac{14}{25}AB$

e che l'area del rombo è di 336 centimetri quadrati, ossia

$\frac{AC\times DB}{2}=336$

Noi dobbiamo trovare la misura del perimetro del rombo che è dato da

$2p=4\times AB$

Poiché ci occorre la misura del lato, poniamo

Dalla prima relazione scritta possiamo ricavare una delle due diagonali in funzione dell'incognita, ossia

$DB=\frac{14}{25}AB \to DB=\frac{14}{25}x$

Ora, se riusciamo a scrivere anche la diagonale maggiore in funzione dell'incognita il gioco è fatto. La formula per l'area sarà infatti l'equazione risolutiva del problema.

Applicando il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo di ipotenusa abbiamo che

Ora

$OB=\frac{1}{2}DB=\frac{1}{2}\times \frac{14}{25}x = \frac{7}{25}x$

Inoltre . Pertanto sostituendo in

abbiamo

$AO^2=x^2-\left(\frac{7}{25}x\right)^2=x^2-\frac{49}{625}x^2 = \frac{576}{625}x^2$

da cui

$AO=\sqrt{\frac{576}{625}x^2}=\frac{24}{25}x$

Essendo $AC=2AO=\frac{48}{25}x$ sostituendo quanto trovato nella formula per l'area

$\frac{AC\times DB}{2}=336 \to AC \times DB=672$

ricadiamo in un'equazione di secondo grado nell'incognita x, ossia

$\frac{48}{25}x\times \frac{14}{25}x=672 \to \frac{672}{625}x^2=672$

da cui

$x^2=672 \times \frac{625}{672}=625$

e quindi

$AB=x=\sqrt{625}=25 \mbox{ cm}$

Ne sugue che il perimetro del rombo è

$2p=4\times AB = 4\times 25 = 100 \mbox{ cm}$

Nella soluzione dell'equazione di secondo grado ho considerato la sola radice positiva perché abbiamo a che fare con misure di segmenti che, in quanto tali, sono positive. :)

Risposta di Galois