Perimetro di un rombo con le diagonali

Una delle 2 diagonali di un rombo avente l'area di 336 cm^2 è i 14/25 del lato. Come si calcola il perimetro del rombo?

Per favore mi potete spiegare come si risolve questo problema sul rombo ricorrendo alle equazioni?

Grazie in anticipo.

Domanda di Mary

Soluzioni

Come prima cosa disegniamo un rombo - click per le formule

Dai dati forniti dal problema sappiamo che una diagonale (ad esempio ) è i 14/25 del lato obliquo; in formule
$DB=\frac{14}{25}AB$
e che l'area del rombo è di 336 centimetri quadrati, ossia
$\frac{AC\times DB}{2}=336$
Noi dobbiamo trovare la misura del perimetro del rombo che è dato da
$2p=4\times AB$
Poiché ci occorre la misura del lato, poniamo .
Dalla prima relazione scritta possiamo ricavare una delle due diagonali in funzione dell'incognita, ossia
$DB=\frac{14}{25}AB \to DB=\frac{14}{25}x$
Ora, se riusciamo a scrivere anche la diagonale maggiore in funzione dell'incognita, il gioco è fatto. La formula per l'area sarà infatti l'equazione risolutiva del problema.
Applicando il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo di ipotenusa abbiamo che
Ora
$OB=\frac{1}{2}DB=\frac{1}{2}\times \frac{14}{25}x = \frac{7}{25}x$
Inoltre , pertanto sostituendo in
abbiamo
$AO^2=x^2-\left(\frac{7}{25}x\right)^2=x^2-\frac{49}{625}x^2 = \frac{576}{625}x^2$
da cui
$AO=\sqrt{\frac{576}{625}x^2}=\frac{24}{25}x$
Essendo $AC=2AO=\frac{48}{25}x$ e sostituendo quanto trovato nella formula per l'area
$\frac{AC\times DB}{2}=336 \to AC \times DB=672$
ricadiamo in un'equazione di secondo grado nell'incognita x, ossia
$\frac{48}{25}x\times \frac{14}{25}x=672 \to \frac{672}{625}x^2=672$
da cui
$x^2=672 \times \frac{625}{672}=625$
e quindi
$AB=x=\sqrt{625}=25 \mbox{ cm}$
Ne segue che il perimetro del rombo è
$2p=4\times AB = 4\times 25 = 100 \mbox{ cm}$
Nella soluzione dell'equazione di secondo grado ho considerato la sola radice positiva perché abbiamo a che fare con misure di segmenti che, in quanto tali, sono positive. :)
Risposta di Galois