Soluzioni
  • Ciao Nello arrico :D (spero di saperla svolgere xD)

    Risposta di Ifrit
  • Abbiamo la disequazione irrazionale (click per il metodo di risoluzione in generale)

    \sqrt[3]{x^3+1}\ge \sqrt{x^2-1}

    Esso equivale al sistema:

    \begin{cases}x^2-1\ge 0\\ \sqrt[3]{x^3+1}\ge 0\\ x^2-1\le \sqrt[3]{(x^3+1)^2}\end{cases}

     

    Dalla prima disequazione otteniamo:

    x^2-1\ge 0\implies x\le-1\vee x\ge 1

    Dalla seconda disequazione abbiamo invece:

    \sqrt[3]{x^3+1}\ge 0\iff x^3\ge-1\implies x\ge -1

    La terza è la più delicata:

    x^2-1\le \sqrt[3]{(x^3+1)^2}

    Elevando membro a membro per 3:

    (x^2-1)^3\le (x^3+1)^2

    Osserva ora che:

    (x^2-1)^3= (x-1)^3(x+1)^3

    mentre

    (x^3+1)^2=(1+x)^2 (1-x+x^2)^2

     

    Dunque la disequazione diventa:

    (x-1)^3(x+1)^3- (x+1)^2 (x^2-x+1)^2\le 0

    mettendo in evidenza (x+1)^2 otteniamo:

    (x+1)^2((x-1)^3 (x+1)- (x^2-x+1)^2)\le 0

    Facendo un po di conti otteniamo:

    (x+1)^2(-3x^2+4x-2)\le 0

    Studiamo il segno dei fattori:

    (x+1)\ge 0 \quad\forall x\in \mathbb{R}

    -3x^2+4x-2\ge 0

    Il delta associato è

    \Delta= 16-24<0

    l'equazione associata non ammette soluzioni, quindi la disequazione non è mai soddisfatta perché il coefficiente direttore (-3) è negativo.

    Di conseguenza 

    -3x^2+4x-2\le 0\quad\forall x\in\mathbb{R}

    Questo ci permette di concludere che la disequazione 

    (x+1)^2(-3x^2+4x-2)\le 0

    è sempre soddisfatta.

     

    Adesso intersechiamo le soluzioni parziali precedentemente ottenuti:

    1. ___________(-1) ................. (1)_________________

    2 - - - - - - - - - (-1) ______________________________

    3 ______________________________________________

     

    Le soluzioni quindi sono:

    x=-1\vee x\ge 1

     

    Risposta di Ifrit
 
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