Disequazione irrazionale con radici diverse

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Ciao! Mi aiutate a risolvere questa disequazione irrazionale per piacere?...non ho capito come si svolge. Grazie!

 

radice cubica (x^3-1) < radice quadrata ( x^2-1)

 

Il risultato dato dal libro è: x <= -1.

Domanda di Nello

 
Soluzioni

  • Ciao Nello, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega

  • Per risolvere la disequazione

    \sqrt[3]{x^3-1}\textless \sqrt{x^2-1}

    che riscriviamo come

    \sqrt{x^2-1}>\sqrt[3]{x^3-1}

    dobbiamo procedere come descritto qui:

    https://www.youmath.it/lezioni/algebra-elementare/disequazioni/192-disequazioni-irrazionali.html

    e dunque dobbiamo risolvere due sistemi di disequazioni, di cui dobbiamo unire le soluzioni.

    Il primo sistema è

    \left\{\begin{matrix}x^2-1\geq 0\\ x^3-1<0\end{matrix}

    il secondo è

    \left\{\begin{matrix}x^2-1\geq 0\\ x^3-1\geq 0\\ x^2-1>\sqrt{(x^3-1)^2}\end{matrix}

    Occupiamoci del primo

    \left\{\begin{matrix}x\leq -1\vee x\geq +1\\ x<1\end{matrix}

    che ha soluzioni

    x\leq -1

    Passiamo al secondo

    \left\{\begin{matrix}x\leq -1\vee x\geq +1\\ x>\geq 1\\ x^2-1>\sqrt{(x^3-1)^2}\end{matrix}

    La terza disequazione la risolviamo a parte:

    x^2-1>\sqrt{(x^3-1)^2}

    eleviamo entrambi i membri al cubo

    (x^2-1)^3>(x^3-1)^2

    scomponiamo

    x^2-1=(x-1)(x+1)

    x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)

    per cui

    (x-1)^3(x+1)^3>(x-1)^2(x^2+x+1)^2

    Semplifichiamo dividendo per (x-1)^2 entrambi i membri, essendo (x-1) una quantità sempre positiva (a patto che x\neq 1, ma questo è garantito dalla seconda disequazione del sistema)

    (x-1)(x+1)^3>(x^2+x+1)^2

    (x^2-1)(x+1)^2>(x^2+x+1)^2

    E risolvendo la disequazione, si trova che non ha soluzioni.

    Il secondo sistema è impossibile, quindi l'insieme delle soluzioni è vuoto. L'unione dell'insieme delle soluzioni del primo sistema con le soluzioni del secondo sistema (ins. vuoto) equivale all'insieme delle soluzioni della disequazione iniziale, che è

    x\leq -1

    Namasté!

    Risposta di Omega
 
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