Soluzioni
  • Per calcolare la dimensione e una base di un sottospazio di matrici assegnato attraverso un sistema di generatori, conviene scrivere le componenti di ciascuna matrice rispetto alla base canonica dello spazio di partenza.

    In questo modo si passa a lavorare da un sottospazio dello spazio di matrici Mat(m,n,\mathbb{R}) a un sottospazio di \mathbb{R}^{m \times n}, i cui elementi sono più facilmente gestibili.

    In alternativa, si può far ricorso all'isomorfismo coordinato

    \\ f : Mat(m,n,\mathbb{R}) \to \mathbb{R}^{m \times n} \\ \\ A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix} \mapsto \\ \\ \\ \mapsto \mathbf{v}=(a_{11}, a_{12}, ..., a_{1n}, a_{21}, a_{22}, ..., a_{2n}, ..., ..., ..., a_{m1}, a_{m2}, ..., a_{mn})

    che a ogni matrice A \in Mat(m,n,\mathbb{R}) associa il vettore di \mathbb{R}^{m \times n} le cui componenti sono gli elementi della matrice A scritti partendo dall'elemento a_{11} e procedendo seguendo l'ordine delle righe fino a giungere all'elemento a a_{mn}.

    Esempio

    Risolviamo l'esercizio proposto, in cui bisogna calcolare la dimensione e una base del sottospazio vettoriale

    \\ V=\mbox{Span}(A_1, A_2, A_3, A_4), \mbox{ con } \\ \\ A_1=\begin{pmatrix}1&1 \\ 0&1\end{pmatrix} \ \ \ A_2=\begin{pmatrix}-1&1 \\ 1&2\end{pmatrix} \ \ \ A_3=\begin{pmatrix}1&3 \\ 1&4\end{pmatrix} \ \ \ A_4=\begin{pmatrix}1&5 \\ 2&7\end{pmatrix}

    Procediamo osservando che V è un sottospazio generato da quattro matrici di Mat(2,2,\mathbb{R}), dunque A_1, A_2, A_3, A_4 sono un sistema di generatori di V e l'esercizio si riduce a dover estrarre una base da un sistema di generatori. La cardinalità della base estratta, cioè il numero dei suoi elementi, è la dimensione del sottospazio V.

    La base canonica dello spazio Mat(2,2,\mathbb{R}) è

    \mathcal{C}=\left\{E_{11}=\begin{pmatrix}1&0 \\ 0&0\end{pmatrix}, \ E_{12}=\begin{pmatrix}0&1 \\ 0&0\end{pmatrix}, \ E_{21}=\begin{pmatrix}0&0 \\ 1&0\end{pmatrix}, \ E_{22}=\begin{pmatrix}0&0 \\ 0&1\end{pmatrix} \right\}

    Scriviamo le componenti rispetto alla base canonica di ciascuna matrice di V sotto forma di vettori

    \\ A_1 \to (1,1,0,1) \\ \\ A_2 \to (-1,1,1,2) \\ \\ A_3 \to (1,3,1,4) \\ \\ A_4 \to (1,5,2,7)

    Consideriamo allora il sottospazio di \mathbb{R}^{2 \times 2} = \mathbb{R}^4 generato da questi vettori

    \tilde{V}=\mbox{Span}((1,1,0,1), \ (-1,1,1,2), \ (1,3,1,4), \ (1,5,2,7))

    Estrarre una base dal sottospazio V equivale ad estrarre una base dal sottospazio \tilde{V}. Dopo aver trovato una base di \tilde{V} bisogna però ricordarsi di eseguire il procedimento inverso, cioè di associare a ogni vettore della base la rispettiva matrice.

    Per estrarre una base di \tilde{V} procediamo col metodo di eliminazione gaussiana: disponiamo i vettori che definiscono \tilde{V} per colonne in una matrice (che chiamiamo A)

    A=\begin{pmatrix}1&-1&1&1 \\ 1&1&3&5 \\ 0&1&1&2 \\ 1&2&4&7\end{pmatrix}

    e applichiamo il metodo di riduzione di Gauss con lo scopo di ridurla in una matrice a gradini.

    Indichiamo con R_1, \ R_2, \ R_3 \mbox{ e } R_4 le righe di A ed effettuiamo le seguenti sostituzioni

    \\ R_2 \to -R_1+R_2=\begin{pmatrix}-1&1&-1&-1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1&1&3&5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&2&2&4\end{pmatrix} \\ \\ R_4 \to -R_1+R_4=\begin{pmatrix}-1&1&-1&-1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1&2&4&7\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&3&3&6\end{pmatrix}

    Otteniamo così

    A'=\begin{pmatrix}1&-1&1&1 \\ 0&2&2&4 \\ 0&1&1&2 \\ 0&3&3&6\end{pmatrix}

    Per annullare i termini a_{32}=1 \mbox{ e } a_{42}=3 \mbox{ di } A' proseguiamo con le sostituzioni

    \\ R_3 \to -\frac{1}{2}R_2+R_3=\begin{pmatrix}0&-1&-1&-2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0&1&1&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0&0&0\end{pmatrix} \\ \\ \\ R_4 \to -\frac{3}{2}R_2+R_4=\begin{pmatrix}0&-3&-3&-6\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0&3&3&6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0&0&0\end{pmatrix}

    In questo caso, ovviamente, con R_1, \ R_2 \mbox{ e } R_3 abbiamo indicato le righe di A'.

    Il risultato è

    A''=\begin{pmatrix}1&-1&1&1 \\ 0&2&2&4 \\ 0&0&0&0 \\ 0&0&0&0\end{pmatrix}

    che è una matrice a gradini, dunque la riduzione può dirsi conclusa.

    A'' ha due pivot: a_{11} \mbox{ e } a_{22}. I vettori colonna della matrice non ridotta che corrispondono ai vettori colonna di quella ridotta contenenti i pivot formano una base di \tilde{V}, dunque

    \mathcal{B}_{\tilde{V}}=\{(1,1,0,1), \ (-1,1,1,2)\}

    Di conseguenza, una base di V è

    \mathcal{B}_{V}=\left\{\begin{pmatrix}1&1 \\ 0&1\end{pmatrix}, \ \begin{pmatrix}-1&1 \\ 1&2\end{pmatrix}\right\}=\{A_1, \ A_2\}

    e la sua dimensione è 2.

    ***

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    Risposta di Galois
 
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