Soluzioni
  • Eccoci! Arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega
  • Per determinare la dimensione e una base del sottospazio V di M(2,\mathbb{R}) generato dalle matrici A_1,A_2,A_3,A_4 conviene fare riferimento all'identificazione naturale tra M(2,\mathbb{R}) e \mathbb{R}^4, vale a dire l'isomorfismo dato da

    \left[\begin{matrix}a&b\\ c&d\end{matrix}\right]\to \left[\begin{matrix}a\\ b\\ c\\ d\end{matrix}\right]

    Ogni matrice di M(2,\mathbb{R}) viene cioè individuata con un vettore di quattro componenti.

    In questo modo la richiesta si riduce a considerare, in \mathbb{R}^4, il sottospazio vettoriale generato dai 4 vettori

    [1,1,0,1]^T,[-1,1,1,2]^T,[1,3,1,4]^T,[1,5,2,7]^T

    e si procedere nel modo usuale, calcolando il rango della matrice avente le colonne date dai vettori del sistema di generatori. Il rango consisterà esattamente nella dimensione dello spazio generato dalle colonne, quindi nella dimensione del sottospazio vettoriale generato dai vettori.

    Per calcolare il rango, si può procedere con il metodo di eliminazione gaussiana, che permette tra l'altro di individuare i vettori del sottoinsieme massimale di vettori linearmente indipendenti del sistema considerato, che costituiscono quindi una base dello spazio generato.

    E qui si chiude la prima parte dell'esercizio.

    Per quanto riguarda la seconda parte, l'esercizio chiede di determinare le coordinate delle matrici (o equivalentemente dei corrispondenti vettori) rispetto alla base individuata al punto 1). La base, cioè, del sottospazio vettoriale generato.

    In parole povere, si tratta di esprimere i vettori del sistema di generatori che dipendono linearmente dai vettori della base, e in particolare di esprimerli come combinazione lineare dei vettori della base del sottospazio. I coefficienti della combinazione lineare saranno proprio le coordinate dei vettori rispetto alla base del sottospazio.

    Se dovessi avere dubbi, non esitare a chiedere...

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • una domanda le matrici A devo ordinarnele necessariamente per colonna in questo caso... se si perchè?
    Risposta di screative
  • No, non fa alcuna differenza... Wink io preferisco le colonne, però anche per righe va bene. In tal caso però (è banale ma è meglio dirlo) il sottospazio generato sarà lo spazio generato dalle righe.

    Domanda: sai dirmi perché non fa differenza nel calcolo della dimensione?

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • perchè nel calcolo del rango una matrice A generica e la sua trasposta hanno lo stesso rango

    Risposta di screative
  • Risposta di Omega
  • perfetto come sempre grazie mille

    Risposta di screative
 
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