Dimensione e base di un sottospazio generato da matrici

Giuseppe Carichino (Galois) - 27/04/2023

Come si determinano la dimensione e una base di un sottospazio di matrici? Potreste spiegarmi come si procede in generale, per poi risolvere il seguente esercizio?

Determinare la dimensione e una base del sottospazio generato in dalle matrici

Soluzione

Per calcolare la dimensione e una base di un sottospazio di matrici assegnato attraverso un sistema di generatori, conviene scrivere le componenti di ciascuna matrice rispetto alla base canonica dello spazio di partenza.

In questo modo si passa a lavorare da un sottospazio dello spazio di matrici a un sottospazio di , i cui elementi sono più facilmente gestibili.

In alternativa, si può far ricorso all'isomorfismo coordinato

f : Mat(m,n,R) → R^(m×n) ; A = [a_(11) a_(12) ··· a_(1n) ; a_(21) a_(22) ··· a_(2n) ; ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ; a_(m1) a_(m2) ··· a_(mn) ] ↦ ; ↦ v = (a_(11), a_(12), ..., a_(1n), a_(21), a_(22), ..., a_(2n), ..., ..., ..., a_(m1), a_(m2), ..., a_(mn))

che a ogni matrice associa il vettore di le cui componenti sono gli elementi della matrice scritti partendo dall'elemento e procedendo seguendo l'ordine delle righe fino a giungere all'elemento a .

Esempio

Risolviamo l'esercizio proposto, in cui bisogna calcolare la dimensione e una base del sottospazio vettoriale

V = Span(A_1, A_2, A_3, A_4), con ; A_1 = [1 1 ; 0 1] A_2 = [-1 1 ; 1 2] A_3 = [1 3 ; 1 4] A_4 = [1 5 ; 2 7]

Procediamo osservando che è un sottospazio generato da quattro matrici di , dunque sono un sistema di generatori di e l'esercizio si riduce a dover estrarre una base da un sistema di generatori. La cardinalità della base estratta, cioè il numero dei suoi elementi, è la dimensione del sottospazio .

La base canonica dello spazio è

Scriviamo le componenti rispetto alla base canonica di ciascuna matrice di sotto forma di vettori

A_1 → (1,1,0,1) ; A_2 → (-1,1,1,2) ; A_3 → (1,3,1,4) ; A_4 → (1,5,2,7)

Consideriamo allora il sottospazio di generato da questi vettori

Estrarre una base dal sottospazio equivale ad estrarre una base dal sottospazio . Dopo aver trovato una base di bisogna però ricordarsi di eseguire il procedimento inverso, cioè di associare a ogni vettore della base la rispettiva matrice.

Per estrarre una base di procediamo col metodo di eliminazione gaussiana: disponiamo i vettori che definiscono per colonne in una matrice (che chiamiamo )

A = [1 -1 1 1 ; 1 1 3 5 ; 0 1 1 2 ; 1 2 4 7]

e applichiamo il metodo di riduzione di Gauss con lo scopo di ridurla in una matrice a gradini.

Indichiamo con le righe di ed effettuiamo le seguenti sostituzioni

R_2 → -R_1+R_2 = [-1 1 -1 -1]+[1 1 3 5] = [0 2 2 4] ; R_4 → -R_1+R_4 = [-1 1 -1 -1]+[1 2 4 7] = [0 3 3 6]

Otteniamo così

A'= [1 -1 1 1 ; 0 2 2 4 ; 0 1 1 2 ; 0 3 3 6]

Per annullare i termini proseguiamo con le sostituzioni

R_3 → -(1)/(2)R_2+R_3 = [0 -1 -1 -2]+[0 1 1 2] = [0 0 0 0] ; R_4 → -(3)/(2)R_2+R_4 = [0 -3 -3 -6]+[0 3 3 6] = [0 0 0 0]

In questo caso, ovviamente, con abbiamo indicato le righe di .

Il risultato è

A''= [1 -1 1 1 ; 0 2 2 4 ; 0 0 0 0 ; 0 0 0 0]

che è una matrice a gradini, dunque la riduzione può dirsi conclusa.

ha due pivot: . I vettori colonna della matrice non ridotta che corrispondono ai vettori colonna di quella ridotta contenenti i pivot formano una base di , dunque

Di conseguenza, una base di è

e la sua dimensione è 2.

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Per altri esercizi svolti o per chiarire eventuali dubbi, vi consigliamo di leggere le lezioni linkate in fase di risposta; se ciò non bastasse, fate riferimento alla barra di ricerca interna.