Problema con prisma quadrangolare regolare e piramide

Question

Salve ho difficoltà con un problema sul prisma quadrangolare regolare e una piramide quadrangolare regolare, mi dite come risolverlo? Un prisma quadrangolare regolare ha l'area della superficie totale di 1248 cm^2; sapendo che il rapporto fra l'altezza e lo spigolo di base è 5/3, calcola la misura dell'altezza di una piramide quadrangolare regolare equivalente al prisma dato ed avente la misura dello spigolo di base doppia di quella dello spigolo di base del prisma. Grazie in anticipo a chi mi risponderà.

Fulvio Sbranchella · Accepted Answer

Ciao Gicco :) Concentriamo inizialmente la nostra attenzione sul prisma. Di esso conosciamo l'area della superficie totale S_(tot) = 1248 cm^2 e, detta h la sua altezza ed l il lato di base (che è un quadrato) sappiamo che (h)/(l) = (5)/(3) ovvero h = (5)/(3)l Avendo ben presenti le formule sul prisma quadrangolare regolare, l'area della superficie totale è data da: (*) S_(tot) = 2S_(base)+S_(lat) Essendo, come già osservato, la base del prisma un quadrato abbiamo che S_(base) = l^2 mentre S_(lat) = 2p_(base)·h = 4lh Andiamo ora a sostituire i dati forniti dal problema e quanto appena trovato nella relazione (*): 1248 (S_(tot)) = 2l^2 (2S_(base))+4lh (S_(lat)) Poiché h = (5)/(3)l si ha 1248 = 2l^2+4l·(5)/(3)l 1248 = 2l^2+(20)/(3)l^2 Esenguendo la somma tra frazioni vien fuori 1248 = (26)/(3)l^2 Possiamo a questo punto ricavare la misura del lato di base del prisma che è data da l = √((1248·3)/(26)) = √(144) = 12 cm Da cui ne segue che h = (5)/(3)l = (5)/(3)·12 = 20 cm Abbiamo ora tutto quello che ci serve per trovare il volume del prisma. V_(prisma) = S_(base)·h = l^2·h = 12^2·20 = 2880 cm^3 Passiamo ora alla piramide quadrangolare della quale sappiamo che è equivalente al prisma e che il suo lato di base L è il doppio del lato di base l del prisma. Con queste informazioni dobbiamo calcolare la misura H dell'altezza della piramide. Possiamo immediatamente trovare la misura del lato di base L = 2l = 2·12 = 24 cm e di conseguenza l'area della superficie di base S_(base) = L^2 = 24^2 = 576 cm^2 Ricordando ora che due figure solide equivalenti sono tali da avere lo stesso volume, si ha V_(prisma) = V_(piramide) = 2880 cm^3 Dalla formula per il volume della piramide V = (S_(base)·H)/(3) possiamo ricavare l'altezza tramite la formula inversa H = (3·V)/(S_(base)) = (3·2880)/(576) = 15 cm È tutto. ;)