Soluzioni
  • Ciao Gicco :)

    Concentriamo inizialmente la nostra attenzione sul prisma. Di esso conosciamo l'area della superficie totale

    S_{tot}=1248 \ \mbox{cm}^2

    e, detta h la sua altezza ed l il lato di base (che è un quadrato) sappiamo che

    \frac{h}{l}=\frac{5}{3}

    ovvero

    h=\frac{5}{3}l

    Avendo ben presenti le formule sul prisma quadrangolare regolare, l'area della superficie totale è data da:

    (*) \ S_{tot}=2S_{base}+S_{lat}

    Essendo, come già osservato, la base del prisma un quadrato abbiamo che

    S_{base}=l^2

    mentre

    S_{lat}=2p_{base} \cdot h = 4lh

    Andiamo ora a sostituire i dati forniti dal problema e quanto appena trovato nella relazione (*):

    \underbrace{1248}_{S_{tot}} = \underbrace{2l^2}_{2S_{base}}+\underbrace{4lh}_{S_{lat}}

    Poiché h=\frac{5}{3}l si ha

    1248=2l^2+4l \cdot \frac{5}{3}l

    1248=2l^2+\frac{20}{3}l^2

    Esenguendo la somma tra frazioni vien fuori

    1248=\frac{26}{3}l^2

    Possiamo a questo punto ricavare la misura del lato di base del prisma che è data da

    l=\sqrt{\frac{1248 \cdot 3}{26}}=\sqrt{144}=12 \ \mbox{cm}

    Da cui ne segue che

    h=\frac{5}{3}l = \frac{5}{3}\cdot 12 = 20 \ \mbox{cm}

    Abbiamo ora tutto quello che ci serve per trovare il volume del prisma.

    V_{prisma}=S_{base} \cdot h = l^2 \cdot h = 12^2 \cdot 20 = 2880 \ \mbox{cm}^3

     

    Passiamo ora alla piramide quadrangolare della quale sappiamo che è equivalente al prisma e che il suo lato di base L è il doppio del lato di base l del prisma. Con queste informazioni dobbiamo calcolare la misura H dell'altezza della piramide.

    Possiamo immediatamente trovare la misura del lato di base

    L=2l=2 \cdot 12 = 24 \ \mbox{cm}

    e di conseguenza l'area della superficie di base

    S_{base}=L^2=24^2=576 \ \mbox{cm}^2

    Ricordando ora che due figure solide equivalenti sono tali da avere lo stesso volume, si ha

    V_{prisma}=V_{piramide}=2880 \ \mbox{cm}^3

    Dalla formula per il volume della piramide

    V=\frac{S_{base} \cdot H}{3}

    possiamo ricavare l'altezza tramite la formula inversa

    H=\frac{3 \cdot V}{S_{base}}=\frac{3 \cdot 2880}{576}=15 \ \mbox{cm}

    È tutto. ;)

    Risposta di Omega
MEDIE Geometria Algebra e Aritmetica
SUPERIORI Algebra Geometria Analisi Varie
UNIVERSITÀ Analisi Algebra Lineare Algebra Altro
EXTRA Vita quotidiana
 
Esercizi simili e domande correlate
Domande della categoria Medie-Geometria