Soluzioni
  • Ciao White arrivo :D

    Risposta di Ifrit
  • Prima di iniziare vorrei ricordarti la relazione:

    1+2+3+...+n= \frac{n(n+1)}{2}\qquad\forall n\in\mathbb{N}

    è dovuta a Gauss e si dimostra per induzione. Da questa segue che:

    (1+2+3+...+n)^2= \frac{n^2 (n+1)^2}{4}

    Procediamo per induzione:

    Passo base: 

    n=1\implies 1^3= 1^2 

    Il passo base è verificato

    Passo induttivo:

    Supponiamo che sia vera la relazione:

    1^3+2^3+...n^3= (1+2+... +n)^2\iff 1^3+2^3+...+n^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4}

    Passo conclusivo

    Il nostro intento è quello di dimostrare che:

    1^3+2^3+...+(n+1)^3= (1+2+...+(n+1))^2= \frac{(n+1)^2(n+2)^2}{4}

    Iniziamo con l'analizzare:

    1^3+2^3+...+(n+1)^3= \overbrace{1^3+2^3+...+n^3}^{= \frac{n^2(n+1)^2}{4}}+(n+1)^3

    Osserva ora che:

    1^3+2^3+...n^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4}

    grazie all'amicone Gauss, quindi

    1^3+2^3+...+(n+1)^3= \frac{n^2(n+1)^2}{4}+(n+1)^3

    Mettiamo in evidenza (n+1)^2

    1^3+2^3+...+(n+1)^3=(n+1)^2 \left(\frac{n^2}{4}+n+1\right)

    Svolgiamo i conti:

    1^3+2^3+...+(n+1)^3=(n+1)^2 \left(\frac{n^2+4n+4}{4}\right)

    Osserva inoltre che:

    n^2+4n+4= (n+2)^2

     

    di conseguenza:

    1^3+2^3+...+(n+1)^3=(n+1)^2 \frac{(n+2)^2}{4}= \frac{(n+1)^2(n+2)^2}{4}

    che è proprio la tesi che volevamo :D

    Risposta di Ifrit
 
MEDIEGeometriaAlgebra e Aritmetica
SUPERIORIAlgebraGeometriaAnalisiAltro
UNIVERSITÀAnalisiAlgebra LineareAlgebraAltro
EXTRAPilloleWiki
 
Esercizi simili e domande correlate
Domande della categoria Wiki - Algebra Uni