Circonferenze tangenti a due rette e passanti per un punto

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Salve, potreste aiutarmi con questo problema sulla circonferenza tangente ad una retta? Grazie :)

 

Scrivi le equazioni delle circonferenze tangenti alla rette y=x e y=x + 8 e passanti per il punto (0;4).

Domanda di Panzerotta

 
Soluzioni

  • Ok, iniziamo :D

    Abbiamo due rette:

    r_1: y = x

    r_2: y = x+8

    che sono rette parallele, hanno infatti lo stesso coefficiente angolare. Di conseguenza se calcoliamo la distanza tra le due rette avremo il diametro della circonferenza.

    Pertanto troviamo la distanza tra le due rette!

    Prendiamo un punto P∈ r_2 qualsiasi, ad esempio:

    P(0, 8)

    e calcoliamo la distanza tra P e la retta r_1 scritta in forma implicita. Usiamo la formula per la distanza punto retta:

    distanza(P, r_1) = (|8|)/(√(2)) = 4√(2)

     

    Poiché le due rette sono parallele allora la loro distanza è costante! Tale distanza rappresenta, come già detto il diametro delle circonferenze che stiamo cercando, il raggio è dato da metà diametro:

    r = (diametro)/(2) = (4√(2))/(2) = 2√(2)

    Il centro della circonferenza invece è il punto medio di due punti A e B individuati sulle rette r_1, r_2 dalla trasversale perpendicolare alle due rette.

    Calcoliamo la retta perpendicolare a r_1 passante per un punto P(x_0, x_0)

    p: y = -(x-x_0)+x_0 ⇒-x+2x_0

    Intersechiamola con r_2

    y = -x+2x_0 ; y = x+8

    Per confronto otteniamo l'equazione risolvente:

    -x+2x_0 = x+8 ⇒-2x = 8-2x_0 ⇒ x = 2x_0-4

    Di conseguenza y = 2x_0+4

    I punti A e B sono:

    A = (x_0, x_0), B = (2x_0-4, 2x_0+4)

    A questo punto il centro della circonferenza è il punto medio di questi due punti:

    M_(A, B)((3x_0-4)/(2), (3x_0+4)/(2))

    Il centro è quindi:

    C((3x_0-4)/(2), (3x_0+4)/(2))

    Avendo il centro e il raggio possiamo costruire l'equazione della circonferenza:

    Γ:(x-(3x_0-4)/(2))^2+(y-(3x_0+4)/(2))^2 = 8

    Quello che ci manca è x_0 e lo determineremo con la condizione di appartenenza:

    (0, 4)∈ Γ ⇔ (0-(3x_0-4)/(2))^2+(4-(3x_0+4)/(2))^2 = 8

    Svolgendo i conti otterremo l'equazione:

    8+(9x_0^2)/(2) = 8

    Da cui

    x_0^2 = 0 ⇔ x_0 = 0

    L'equazione della circonferenza è:

    (x+2)^2+(y-2)^2 = 8

    Risposta di Ifrit
 
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