Soluzioni
  • Iniziamo col trovare la misura delle diagonali del rombo. Inidicata con D la diagonale maggiore e con d la diagonale minore, sappiamo che:

    D+d=28 \ \mbox{cm}

    D-d=4 \ \mbox{cm}

    A questo punto possiamo procedere in due modi; vediamoli entrambi.

    Primo metodo - Risoluzione con le equazioni

    Usiamo le equazioni. Dalla seconda relazione ricaviamo

    D=d+4

    Sostituendo tale valore nella prima relazione ricadiamo in un'equazione di primo grado

    \underbrace{d+4}_{D}+d=28

    da cui

    2d=24

    d=12 \ \mbox{cm}

    e, di conseguenza

    D=d+4 = 12+4 = 16 \ \mbox{cm}

    Secondo metodo - Metodo con somma e differenza di segmenti

    Pensiamo alle diagonali come a due segmenti e procediamo come visto nei problemi sui segmenti con somma e differenza - click!

    Disegniamoci cioè due segmenti (uno in veste della diagonale maggiore e l'altro che rappresenta la diagonale minore) e ricaviamoci la differenza

     

    Somma e differenza diagonali rombo

     

    Semplicemente osservando il disegno appena fatto abbiamo che

    d=(28-4):2=24:2 = 12 \ \mbox{cm}

    D=d+4 = 12+4 = 16 \ \mbox{cm}

    Conclusione del problema

    Indipendentemente dal metodo usato abbiamo quindi che:

    D=16 \ \mbox{cm}

    d=12 \ \mbox{cm}

    A questo punto possiamo allora trovare il lato L del rombo sfruttando il teorema di Pitagora

    L=\sqrt{\left(\frac{D}{2}\right)^2+\left(\frac{d}{2}\right)^2}=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10 \ \mbox{cm}

    e di conseguenza il suo perimetro

    2p_{rombo}=4 \times L = 4 \times 10 = 40 \ \mbox{cm}

    Inoltre grazie alla misura delle diagonali possiamo calcolare:

    l'area del rombo

    Area_{rombo}=\frac{D \times d}{2}=\frac{16 \times 12}{2}=96 \ \mbox{cm}^2

    l'altezza del prisma

    h=\frac{7}{8}D = \frac{7}{8} \times 16 = 14 \ \mbox{cm}

    A questo punto, sfruttando le formule sul prisma retto abbiamo che:

    Volume=A_{rombo} \times h = 96 \times 14 = 1344 \ \mbox{cm}^3

    S_{lat}=2p_{rombo} \times h = 40 \times 14 = 560 \ \mbox{cm}^2

    e, di conseguenza

    S_{tot}=2 \ \times \ Area_{rombo} \ + \ S_{lat} = 2 \times 96 + 560 =  192+560 = 752 \ \mbox{cm}^2

    che, volendo, possiamo scrivere come

    S_{tot}=752 \ \mbox{cm}^2 = 7,52 \ \mbox{dm}^2

    in accordo con le soluzioni fornite dal problema. ;)

    Risposta di Omega
 
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