Integrale improprio con logaritmo e radice

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Ho un integrale improprio di seconda specie con un logaritmo e una radice, e non so come comportarmi per studiarne la convergenza:

 

Integrale improprio da 0 a 1 di log √(1-x) dx.

 

Mi aiutate? Grazie mille!!

Domanda di marco1

 
Soluzioni

  • Ciao Marco1 arrivo :D

    Risposta di Ifrit

  • Abbiamo l'integrale:

    ∫_0^1 ln(√(1-x))dx

    Il problema sorge con l'estremo di integrazione 1, infatti in tale punto la funzione integranda perde di significato.

    Utilizziamo la definizione di integrale improprio per risolverlo:

    lim_(M → 1^-)∫_0^(M) ln(√(1-x))dx

    Odesso osserva che:

    ln(√(1-x)) = ln[(1-x)^((1)/(2))] 

    Per la proprietà dei logaritmi abbiamo:

    ln(a^b) = bln(a) ∀ , ,a > 0

    Di conseguenza:

    ln(√(1-x)) = ln[(1-x)^((1)/(2))] = (1)/(2)ln(1-x)

    L'integrale da risolvere diventa:

    ∫_0^M (1)/(2)ln(1-x)dx = (1)/(2)∫_0^M ln(1-x)dx

    Consideriamo ora solo l'integrale:

    ∫_0^M ln(1-x)dx 

    Per risolverlo procederemo per parti, scegliendo come fattore finito (da derivare)

    f(x) = ln(1-x) ⇒ f'(x) = -(1)/(1-x)

    e come fattore differenziale (da integrare)

    g'(x) = 1 ⇒ g(x) = x:

    Dunque, utilizzando la formula di integrazione per parti:

    ∫_0^M ln(1-x) = [xln(1-x)]_0^M-∫_0^M-(x)/(1-x)dx

    Concentriamoci sull'ultimo integrale:

    ∫_0^M-(x)/(1-x)dx = ∫_0^M (-x)/(1-x)dx

    Aggiungiamo e sottraiamo 1 al numeratore:

    ∫_0^M (1-x+1)/(1-x)dx = ∫_0^M (1-x)/(1-x)+(1)/(1-x)dx =

    = ∫_0^M 1+(1)/(1-x)dx = ∫ _0^M dx+∫_0^M (1)/(1-x)dx =

    Il primo integrale è immediato, il secondo pure:

    [x]_0^M+[ln|1-x|]_0^M

    Quindi:

     

    ∫_0^M ln(1-x) = [xln(1-x)]_0^M-∫_0^M-(x)/(1-x)dx =

    [xln(1-x)]_0^M-([x]_0^M+[ln(1-x)]_0^M) =

    Mln(1-M)-M-ln(1-M)

     

    Per risolvere l'integrale dobbiamo quindi determinare il limite:

    lim_(M → 1^-) Mln(1-M)-M-ln(1-M) =

    lim_(M → 1^-)ln(1-M)(M-1)-M =

    lim_(M → 1^-)ln(1-M)(M-1)-lim_(M → 1^(-))M

     

    Il primo limite è zero perché riconducibile al limite fondamentale:

    lim_(t → 0)tln(t) = 0

    Il secondo limite è banale.

    lim_(M → 1^-)ln(1-M)(M-1) (= 0)-lim_(M → 1^(-))M (= 1) = -1

     Di conseguenza:

    ∫_0^1 ln(√(1-x))dx = (1)/(2)∫_0^1ln(1-x)dx = -(1)/(2)

    Se hai domande sono qui :D

    Risposta di Ifrit

  • Grazie mille!

    Risposta di marco1
 
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