Soluzioni
  • Ciao Marco1 arrivo :D

    Risposta di Ifrit
  • Abbiamo l'integrale:

    \int_0^1 \ln(\sqrt{1-x})dx

    Il problema sorge con l'estremo di integrazione 1, infatti in tale punto la funzione integranda perde di significato.

    Utilizziamo la definizione di integrale improprio per risolverlo:

    \lim_{M\to 1^-}\int_0^{M} \ln(\sqrt{1-x})dx

    Odesso osserva che:

    \ln(\sqrt{1-x})= \ln[(1-x)^{\frac{1}{2}}] 

    Per la proprietà dei logaritmi abbiamo:

    \ln(a^b)= b\ln(a)\quad \forall\,\,a\textgreater 0

    Di conseguenza:

    \ln(\sqrt{1-x})= \ln[(1-x)^{\frac{1}{2}}]= \frac{1}{2}\ln(1-x)

    L'integrale da risolvere diventa:

    \int_0^M \frac{1}{2}\ln(1-x)dx= \frac{1}{2}\int_0^M \ln(1-x)dx

    Consideriamo ora solo l'integrale:

    \int_0^M \ln(1-x)dx 

    Per risolverlo procederemo per parti, scegliendo come fattore finito (da derivare)

    f(x)= \ln(1-x)\implies f'(x)= -\frac{1}{1-x}

    e come fattore differenziale (da integrare)

    g'(x)=1\implies g(x)= x:

    Dunque, utilizzando la formula di integrazione per parti:

    \int_0^M \ln(1-x)=[x\ln(1-x)]_0^M-\int_0^M -\frac{x}{1-x}dx

    Concentriamoci sull'ultimo integrale:

    \int_0^M -\frac{x}{1-x}dx= \int_0^M \frac{-x}{1-x}dx

    Aggiungiamo e sottraiamo 1 al numeratore:

    \int_0^M \frac{1-x+1}{1-x}dx= \int_0^M \frac{1-x}{1-x}+\frac{1}{1-x}dx=

    = \int_0^M 1+\frac{1}{1-x}dx=\int _0^M dx+\int_0^M \frac{1}{1-x}dx=

    Il primo integrale è immediato, il secondo pure:

    [x]_0^M+[\ln|1-x|]_0^M

    Quindi:

     

    \int_0^M \ln(1-x)=[x\ln(1-x)]_0^M-\int_0^M -\frac{x}{1-x}dx=

    [x\ln(1-x)]_0^M-([x]_0^M+[\ln(1-x)]_0^M)=

    M\ln(1-M)-M-\ln(1-M)

     

    Per risolvere l'integrale dobbiamo quindi determinare il limite:

    \lim_{M\to 1^-} M\ln(1-M)-M -\ln(1-M)=

    \lim_{M\to 1^-}\ln(1-M)(M-1)-M=

    \lim_{M\to 1^-}\ln(1-M)(M-1)-\lim_{M\to 1^{-}}M

     

    Il primo limite è zero perché riconducibile al limite fondamentale:

    \lim_{t\to 0}t\ln(t)=0

    Il secondo limite è banale.

    \overbrace{\lim_{M\to 1^-}\ln(1-M)(M-1)}^{= 0}-\overbrace{\lim_{M\to 1^{-}}M}^{=1}= -1

     Di conseguenza:

    \int_0^1 \ln(\sqrt{1-x})dx= \frac{1}{2}\int_0^1\ln(1-x)dx= -\frac{1}{2}

    Se hai domande sono qui :D

    Risposta di Ifrit
  • Grazie mille!

    Risposta di marco1
 
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