Problema di primo grado sul triangolo isoscele

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Non so proprio come potrei fare questo esercizio riguardo ai triangoli isosceli, è un problema di primo grado ad una incognita.

 

Nel triangolo isoscele ABC l'altezza AH, relativa alla base BC, è i 2\3 della base stessa e il perimetro misura 32l.

1) Calcolare le misure dei lati.

2) Condurre per un punto P del lato AB la parallela alla base BC che incontra in Q il lato AC; dopo aver proiettato P e Q su BC, rispettivamente, in P' e Q', determinare il segmento BP in modo che sia k il rapporto tra il perimetro del rettangolo PP'Q'Q e il perimentro del triangolo APQ.

 

Il professore ha detto di fare l'interpretazione geometrica delle soluzioni, ma non so come farla! Potreste mostrarmi come si fa per favore? Grazie mille!

Domanda di

 
Soluzioni

  • Ciao Gio arrivo :D

    Risposta di Ifrit

  • La lezione con le formule sul triangolo isoscele tornerà certamente utile, dunque ti consiglio di tenerla a portata. Partiamo dai dati:

    AH = (2)/(3)BC ; P = 32 ell

    Il trucco è capire qual è l'incognita.  In questo caso è furbo porre 

    x = BC

    L'altezza è di conseguenza:

    AH = (2)/(3)x

    Per il teorema di Pitagora applicato al triangolo rettangolo di vertici BHA abbiamo che:

    AB = √(BH^2+AH^2) = √(((x)/(2))^2+((2)/(3)x)^2) = √((25)/(36)x^2) =

    = (5)/(6)x

    Inoltre sappiamo il perimetro del triangolo isoscele:

    P = BC+2AB = x+2×(5)/(6)x = 32 ell

    Da cui otteniamo l'equazione:

    (8)/(3)x = 32 ⇔ x = (3)/(8)×32 = 12

    Ottimo abbiamo trovato la lunghezza della base:

    BC = 12

    L'altezza è invece:

    AH = (2)/(3)×12 = 8

    mentre il lato obliquo è:

    AB = (5)/(6)×12 = 10

    ________________

    L'altra parte del problema è difficilotta e ci devo pensare un po'

    Risposta di Ifrit

  • io l'ho svolto:

    BP= X

    SIMILITUDINI AB: BP=BH: P'B

    ED ESCE P'P= 4\5 X

    POI SVOLGENDO TUTTI I CALCOLI MI è USCITO K MAGGIORE O UGUALE A 3\4 QUELLO CHE MI INTERESSA è L'INTERPRETAZIONE GEOMETRICA...

    Risposta di

  • Intervengo solamente perché Ifrit ha avuto un impegno urgente ed è dovuto scappare :)

    Risolvere il problema con le similitudini va benissimo: alla luce dei dati dedotti nella prima parte del problema, osservando che i triangoli AHB,PBP' sono simili possiamo calcolare, dopo aver posto

    y: = PB

    il rapporto tra lati corrispondenti dei due triangoli, trovando

    (AB)/(PB) = (10)/(y)

    dunque

    (AH)/(PP') = (10)/(y) → PP'= (y)/(10)AH = (4y)/(5)

    allo stesso modo

    (BH)/(P'B) = (10)/(y)

    e quindi

    P'B = (y)/(10)BH = (3)/(5)y

    Ora calcoliamo

    k = (2PP'+2PQ')/(AP+PQ+AQ) = ((8)/(5)y+2((6)/(5)y+12))/(2(10+y)+2((6)/(5)y+12))

    A questo punti non resta che risolvere l'equazione in favore di y: dopo diversi calcoli, si può riscrivere l'equazione nella forma

    k = (10(y+6))/(11(y+10))

    in cui dobbiamo richiedere che y > 0 affinché il problema abbia senso (perché rappresenta la misura di un segmento).

    Nota che il rapporto richiesto dal problema rappresenta, in ultima istanza, l'equazione di una funzione omografica (iperbole equilatera) con assi y = -10, k = 1.

    Namasté!

    Risposta di Omega

  • P è un punto appartenente al segmento AB quindi AP è sicuramente minore. Il rettangolo è inscritto nel triangolo ABC... quindi come viene?

    Risposta di
 
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