Intersezioni e segno nello studio di una funzione fratta

Autore: Redazione di YouMath (Salvatore Zungri - Ifrit) -
Ultimo aggiornamento:

Ho bisogno di una mano per determinare il segno di una funzione razionale fratta e le sue intersezioni con gli assi coordinati. Mi sono attenuta alla teoria, ma senza ottenere i risultati corretti.

Data la funzione

f(x) = (x^2+4)/(x^2−4)

Determinare il segno di f(x) e gli eventuali punti di intersezione con gli assi.

Grazie.

Soluzione

Consideriamo una matrice quadrata A di ordine n, dobbiamo stabilire se le seguenti implicazioni sono vere oppure false

(a) AA^(T) = Id_(n) → det(A) = ±1 ; (b) det(A) = 1 → AA^(T) = Id_n ; (c) AA^(T) = O_(n) → det(A) = 0

in cui A^(T) è la trasposta di A; Id_(n) è la matrice identità di ordine n; O_n è la matrice nulla; det(A) è il determinante di A.

(a) L'implicazione

AA^(T) = Id_(n) → det(A) = ±1

è certamente vera e si dimostra con il teorema di Binet.

Se, infatti, applichiamo il determinante ai due membri dell'uguaglianza, ossia se scriviamo

det(AA^(T)) = det(Id_(n))

e se spezziamo il determinante del prodotto A A^(T) nel prodotto dei determinanti delle singole matrici, la relazione diventa

det(A)det(A^(T)) = det(Id_(n))

In base alle proprietà del determinante, det(A^(T)) coincide con quello di det(A), e inoltre det(Id_(n)) = 1, perciò l'uguaglianza diventa

det(A)·det(A) = 1 → [det(A)]^2 = 1

Ci siamo! Abbiamo ottenuto un'equazione di secondo grado nell'incognita det(A) ed è soddisfatta se

det(A) = −1 ∨ det(A) = 1

L'implicazione (a) è vera!

(b) L'implicazione

det(A) = 1 → AA^(T) = Id_n

è falsa. Per confutarla basta considerare la matrice

A = [(1)/(2) 0 ; 0 2]

Proprio perché è una matrice diagonale, il determinante di A coincide col prodotto degli elementi sulla diagonale principale

det(A) = (1)/(2)·2 = 1

e A^(T) coincide con A.

Alla luce di quanto detto, il prodotto matriciale AA^(T) coincide con AA e vale:

AA^(T) = AA = [(1)/(2) 0 ; 0 2][(1)/(2) 0 ; 0 2] = [(1)/(4) 0 ; 0 4]

Il risultato è evidentemente diverso dalla matrice identità, per cui l'implicazione

det(A) = 1 → AA^(T) = Id_n

è falsa.

(c) L'implicazione

AA^(T) = O_(n) → det(A) = 0

è vera e si dimostra usando ancora una volta il teorema di Binet.

Passiamo ai determinanti dei due membri

det(AA^(T)) = det(O_(n))

e spezziamo il determinante del prodotto nel prodotto dei determinanti

det(A)det(A^(T)) = det(O_n)

Poiché il determinante di A^(T) uguaglia quello di A, e poiché il determinante della matrice nulla è 0, l'uguaglianza diventa

det(A)det(A) = 0 → [det(A)]^2 = 0

da cui

det(A) = 0

come volevamo.

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