Soluzioni
  • Consideriamo una matrice quadrata A di ordine n, dobbiamo stabilire se le seguenti implicazioni sono vere oppure false

    \\ (a) \ \ \ AA^{T}=\mbox{Id}_{n} \ \ \ \to \ \ \ \mbox{det}(A)=\pm 1 \\ \\ (b) \ \ \ \mbox{det}(A)=1 \ \ \ \to \ \ \ AA^{T}=\mbox{Id}_n\\ \\ (c) \ \ \ AA^{T}=O_{n} \ \ \ \to \ \ \ \mbox{det}(A)=0

    in cui A^{T} è la trasposta di A; \ \mbox{Id}_{n} è la matrice identità di ordine n; \ O_n è la matrice nulla; \mbox{det}(A) è il determinante di A.

    (a) L'implicazione

    AA^{T}=\mbox{Id}_{n}\ \ \ \to \ \ \ \mbox{det}(A)=\pm 1

    è certamente vera e si dimostra con il teorema di Binet.

    Se, infatti, applichiamo il determinante ai due membri dell'uguaglianza, ossia se scriviamo

    \mbox{det}(AA^{T})=\mbox{det}(\mbox{Id}_{n})

    e se spezziamo il determinante del prodotto A A^{T} nel prodotto dei determinanti delle singole matrici, la relazione diventa

    \mbox{det}(A)\mbox{det}(A^{T})=\mbox{det}(\mbox{Id}_{n})

    In base alle proprietà del determinante, \mbox{det}(A^{T}) coincide con quello di \mbox{det}(A), e inoltre \mbox{det}(\mbox{Id}_{n})=1, perciò l'uguaglianza diventa

    \mbox{det}(A)\cdot\mbox{det}(A)=1 \ \ \ \to \ \ \ [\mbox{det}(A)]^2=1

    Ci siamo! Abbiamo ottenuto un'equazione di secondo grado nell'incognita \mbox{det}(A) ed è soddisfatta se

    \mbox{det}(A)=-1 \ \ \ \vee \ \ \ \mbox{det}(A)=1

    L'implicazione (a) è vera!

    (b) L'implicazione

    \mbox{det}(A)=1 \ \ \ \to \ \ \ AA^{T}=\mbox{Id}_n

    è falsa. Per confutarla basta considerare la matrice

    A=\begin{pmatrix}\dfrac{1}{2}&&0\\ \\ 0&&2\end{pmatrix}

    Proprio perché è una matrice diagonale, il determinante di A coincide col prodotto degli elementi sulla diagonale principale

    \mbox{det}(A)=\frac{1}{2}\cdot 2=1

    e A^{T} coincide con A.

    Alla luce di quanto detto, il prodotto matriciale AA^{T} coincide con AA e vale:

    \\ AA^{T}=AA=\begin{pmatrix}\dfrac{1}{2}&&0\\ \\ 0&& 2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\dfrac{1}{2}&&0\\ \\ 0&& 2\end{pmatrix}= \\ \\ \\ =\begin{pmatrix}\dfrac{1}{4}&&0\\ \\ 0&& 4\end{pmatrix}

    Il risultato è evidentemente diverso dalla matrice identità, per cui l'implicazione

    \mbox{det}(A)=1 \ \ \ \to \ \ \ AA^{T}=\mbox{Id}_n

    è falsa.

    (c) L'implicazione

    AA^{T}=O_{n} \ \ \ \to \ \ \ \mbox{det}(A)=0

    è vera e si dimostra usando ancora una volta il teorema di Binet.

    Passiamo ai determinanti dei due membri

    \mbox{det}(AA^{T})=\mbox{det}(O_{n})

    e spezziamo il determinante del prodotto nel prodotto dei determinanti

    \mbox{det}(A)\mbox{det}(A^{T})=\mbox{det}(O_n)

    Poiché il determinante di A^{T} uguaglia quello di A, e poiché il determinante della matrice nulla è 0, l'uguaglianza diventa

    \mbox{det}(A)\mbox{det}(A)=0 \ \ \ \to \ \ \ [\mbox{det}(A)]^2=0

    da cui

    \mbox{det}(A)=0

    come volevamo.

    Risposta di Ifrit
 
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