Soluzioni
  • Osserva che abbiamo due rette parallele, infatti hanno lo stesso coefficiente angolare. Essendo la circonferenza tangente ad entrambe allora il diametro di quest'ultima coinciderà con la distanza tra le due rette.

    Inoltre sappiamo che la circonferenza è tangente alla retta 1 nel punto di ascissa x=1. Il punto di tangenza sarà:

    T(1, 2)

    Calcoliamo a questo punto la retta su cui giace il raggio. Essa è perpendicolare alla retta r1 e passa per il punto di Tangenza T.

    Calcoliamo quindi il fascio di rette passanti per T:

    r_T: y-2= m_T(x-1)\implies y= m_T(x-1)+2

    La retta r_T è perpendicolare alla retta r_1 se e solo se il prodotto dei loro coefficienti angolari è pari a -1:

    m_T\times m_{r_1}=-1\iff m_t\times (-2)=-1

    Dunque:

    m_T= \frac{1}{2}

    La retta è:

    r_T: y= \frac{1}{2}(x-1)+2= \frac{1}{2}x+\frac{3}{2}

    Troviamo l'inersezione tra la retta r_2 e la retta r_T

    \begin{cases}y=\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}\\ y=-2x-16\end{cases}

    Per confronto otterremo:

    \frac{1}{2}x+\frac{3}{2}= -2x-16

    risolvendo l'equazione otterrai x=-7 mentre y= -2.

    Benissimo! Abbiamo i punti: T(1, 2) e A(-7, -2) che rappresentano punti diametralmente opposti sulla circonferenza.

    Possiamo calcolare il punto medio tra A e T che rappresenta il centro della circonferenza:

    C(-3, 0)

    Il raggio è dato dalla distanza tra il centro e T ad esempio:

    r= \sqrt{(-3-1)^2+(-2)^2}=\sqrt{20}

    Ottimo abbiamo il centro, abbiamo il raggio possiamo calcolare l'equazione della circonferenza:

    \Gamma: (x-(-3))^2+(y-0)^2= (\sqrt{20})^2

    Da cui

    x^2+y^2+6x-11=0

    Corretto?

    Risposta di Ifrit
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