Secondo teorema di Euclide per esercizio con quadrato e rettangolo

Problema apparentemente complicatissimo, in realtà l'unica cosa complicata consiste nel disegnare la figura. Armati di pazienza e segui le "istruzioni per l'uso" fornite dall'esercizio.

Fatto ciò, richiamiamo il secondo teorema di Euclide:

in un triangolo rettangolo l'altezza relativa all'ipotenusa è media proporzionale alle proiezioni dei cateti sull'ipotenusa.

Ok: considera il triangolo costruito sul diametro . Essendo inscritto in una semicirconferenza, è necessariamente rettangolo in .

Applichiamo il secondo teorema di Euclide:

da cui, grazie alla proprietà per cui il prodotto dei medi proporzionali è pari al prodotto degli estremi

ora osserviamo che per ipotesi

Dunque abbiamo

ovvero la tesi richiesta dal teorema: basta ricordare che l'area del quadrato è il quadrato del lato () e che l'area del rettangolo è il prodotto dei lati ().

Namasté!