Soluzioni
  • Ciao Francesca arrivo :D

    Risposta di Ifrit
  • Abbiamo la circonferenza \Gamma di equazione:

    \Gamma: x^2+y^2-4x-4y-17=0

    dobbiamo trovare le rette tangenti alla circonferenza passanti per il punto P di coordinate:

    P(7, 1/2)

    Determiniamo il fascio di rette passanti per il punto P:

    r_m:y-y_0= m(x-x_0)

    dove x_0, y_0 sono le coordinate del punto P:

    r_m: y-\frac{1}{2}= m(x-7)\implies r_m: y= m(x-7)+\frac{1}{2}

    Attenzione: al fascio di rette precedente manca la retta r^*:\ x= 7

    A questo punto imponiamo che il fascio di rette incontri la circonferenza in un solo punto:

    \begin{cases}x^2+y^2-4x-4y-17=0\\ y= m(x-7)+\frac{1}{2}\end{cases}

    Risolviamo il sistema per sostituzione, ad y della prima equazione sostituiamo m(x-7)+1/2:

    x^2+\left[m(x-7)+\frac{1}{2}\right]^2-4x-4\left[m(x-7)+\frac{1}{2}\right]-17=0

    Sviluppando i conti otteniamo l'equazione:

    (1+m^2)x^2-(14m^2+3m+4)x+49 m^2+21m -\frac{75}{4}=0

    Imponiamo la condizione di tangenza, dobbiamo imporre che:

    \Delta= (14m^2+3m+4)^2-4(1+m^2)(49 m^2+21m-75/4)=0

    Svolgendo la valanga di conti l'equazione precedente si traduce in:

    91-60m=0\implies m=\frac{91}{60}

    Abbiamo trovato una retta tangente che ha equazione:

    y= \frac{91}{60}(x-7)+\frac{1}{2}

    Poiché il punto è esterno alla circonferenza ci sarà necessariamente un'altra retta tangente, ed è quella esclusa dal fascio (vedi la lezione sulla retta esclusa):

    r^*:\ x=7

    A questo punto troviamo i punti di contatto:

    \begin{cases}x^2+y^2-4x-4y-17=0\\ x=7\end{cases}

    Per sostituzione otteniamo:

    7^2+y^2-28-4y-17=0

    y^2-4y+4=0

    Le cui soluzioni sono y=2

    Il primo punto di contatto A ha coordinate 

    A=(7, 2)

    Determiniamo ora l'altro punto di contatto:

    \begin{cases}x^2+y^2-4x-4y-17=0\\y= \frac{91}{60}(x-7)+\frac{1}{2}\end{cases}

    Per sostituzione, effettuanto una montangna di conti otterrai:

    \frac{1}{3600}\left(452929-146714 x+11881 x^2\right)=0  (numeri orrendi)

    Le cui soluzioni sono:

    x= \frac{673}{109}

    y è invece

    y= -\frac{82}{109} 

    A questo punto puoi calcolare l'area del triangolo ha vertici PAB

    Numeri orripilanti...niente paura, può capitare! ;)

    Risposta di Ifrit
  • Grazie caro!! :D

    Risposta di Francesca
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