Soluzioni
  • Partendo dal presupposto che tu abbia letto le lezioni sui punti di accumulazione e sui punti di frontiera, considera ad esempio l'insieme A\subseteq \mathbb{R} dato da

    A=[0,1]\cup \{2\}

    dove il punto 2 è un punto di frontiera per l'insieme A e d'altra parte è un punto isolato, dunque non è di accumulazione per A.

    La definizione di punto di accumulazione stabilisce che x_0\in\mathbb{R} è di accumulazione per A se per ogni intorno di x_0 esiste un elemento y\in A,\ y\neq x_0 che appartiene all'intorno.

    La definizione di punto di frontiera asserisce che x_0\in\mathbb{R} è di frontiera per A se per ogni intorno di x_0 esistono almeno un elemento y_1\in A e almeno un elemento y_2\in A^C che appartengono all'intorno.

    Nota che la definizione di punto di frontiera non esclude il punto x_0 come possibile punto appartenente ad ogni intorno, mentre la definizione di punto di accumulazione esclude il punto x_0.

    Tutto ruota intorno a quel "DIVERSO DA" presente nella definizione di punto di accumulazione.

    In particolare:

    - un punto di frontiera può essere di accumulazione. Esempio: un estremo incluso o escluso di un qualsiasi intervallo.

    - un punto di frontiera può non essere di accumulazione, e dunque isolato. Esempio: quello proposto inizialmente.

    Viceversa:

    - un punto isolato è sempre un punto di frontiera;

    - un punto di accumulazione non è necessariamente un punto di frontiera. Esempio: un qualsiasi punto interno ad un intervallo.

    Namasté!

    Risposta di Omega
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