Ogni punto di frontiera è un punto di accumulazione ?

Partendo dal presupposto che tu abbia letto le lezioni sui punti di accumulazione e sui punti di frontiera, considera ad esempio l'insieme dato da

dove il punto è un punto di frontiera per l'insieme e d'altra parte è un punto isolato, dunque non è di accumulazione per .

La definizione di punto di accumulazione stabilisce che è di accumulazione per se per ogni intorno di esiste un elemento che appartiene all'intorno.

La definizione di punto di frontiera asserisce che è di frontiera per se per ogni intorno di esistono almeno un elemento e almeno un elemento che appartengono all'intorno.

Nota che la definizione di punto di frontiera non esclude il punto come possibile punto appartenente ad ogni intorno, mentre la definizione di punto di accumulazione esclude il punto .

Tutto ruota intorno a quel "DIVERSO DA" presente nella definizione di punto di accumulazione.

In particolare:

- un punto di frontiera può essere di accumulazione. Esempio: un estremo incluso o escluso di un qualsiasi intervallo.

- un punto di frontiera può non essere di accumulazione, e dunque isolato. Esempio: quello proposto inizialmente.

Viceversa:

- un punto isolato è sempre un punto di frontiera;

- un punto di accumulazione non è necessariamente un punto di frontiera. Esempio: un qualsiasi punto interno ad un intervallo.

Namasté!